Упр.30.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.16. a) корень x + 3 + корень 5 — x = 4; б) корень 3x + 16 — 2 корень x — 2 = 3; в) корень 2x + 6 + корень 8 — x = 5 г) 5 корень 3 — x — 2 корень x + 10 = 4.

1. $$\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}=4$$

   Область определения:
   $$x+3\ge 0,\quad 5-x\ge 0,$$
   откуда
   $$-3\le x\le 5.$$

   Возведём в квадрат:
   $$ x+3+2\sqrt{(x+3)(5-x)}+5-x=16 $$
   $$ 2\sqrt{(x+3)(5-x)}=8 $$
   $$ \sqrt{(x+3)(5-x)}=4. $$
   Снова возведём в квадрат:
   $$ (x+3)(5-x)=16 $$
   $$ -x^2+2x+15=16 $$
   $$ x^2-2x+1=0 $$
   $$ (x-1)^2=0. $$
   Тогда
   $$x=1.$$

2. $$\sqrt{3x+16}-2\sqrt{x-2}=3$$

   Область определения:
   $$3x+16\ge 0,\quad x-2\ge 0,$$
   значит
   $$x\ge 2.$$

   Перенесём:
   $$ \sqrt{3x+16}=3+2\sqrt{x-2}. $$
   Возведём в квадрат:
   $$ 3x+16=9+12\sqrt{x-2}+4(x-2) $$
   $$ 15-x=12\sqrt{x-2}. $$
   Снова возведём в квадрат:
   $$ (15-x)^2=144(x-2) $$
   $$ 225-30x+x^2=144x-288 $$
   $$ x^2-174x+513=0. $$
   Тогда
   $$ D=174^2-4\cdot 513=28224=168^2, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{174\pm 168}{2}. $$
   Получаем
   $$x_1=3,\quad x_2=171.$$
   Проверка показывает, что $x=171$ не подходит.

3. $$\sqrt{2x+6}+\sqrt{8-x}=5$$

   Область определения:
   $$2x+6\ge 0,\quad 8-x\ge 0,$$
   то есть
   $$-3\le x\le 8.$$

   Возведём в квадрат:
   $$ 2x+6+2\sqrt{(2x+6)(8-x)}+8-x=25 $$
   $$ 2\sqrt{(2x+6)(8-x)}=11-x. $$
   Снова возведём в квадрат:
   $$ 4(2x+6)(8-x)=(11-x)^2 $$
   $$ 4(-2x^2+10x+48)=x^2-22x+121 $$
   $$ 9x^2-62x-71=0. $$
   Тогда
   $$ D=62^2+4\cdot 9\cdot 71=6400=80^2, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{62\pm 80}{18}. $$
   Получаем
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{71}{9}.$$

4. $$5\sqrt{3-x}-2\sqrt{x+10}=4$$

   Область определения:
   $$3-x\ge 0,\quad x+10\ge 0,$$
   значит
   $$-10\le x\le 3.$$

   Перенесём:
   $$ 5\sqrt{3-x}=4+2\sqrt{x+10}. $$
   Возведём в квадрат:
   $$ 25(3-x)=16+16\sqrt{x+10}+4(x+10) $$
   $$ 75-25x=56+4x+16\sqrt{x+10} $$
   $$ 19-29x=16\sqrt{x+10}. $$
   Снова возведём в квадрат:
   $$ (19-29x)^2=256(x+10) $$
   $$ 841x^2-1358x-2199=0. $$
   Тогда
   $$ D=1358^2+4\cdot 841\cdot 2199=3040^2, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{1358\pm 3040}{2\cdot 841}. $$
   Получаем
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{2199}{841}.$$
   Проверка показывает, что подходит только $x=-1$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$-1,\ \frac{71}{9}$$; г) $$-1$$.