Упр.30.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 30.15. a) корень cosx = sin x; б) корень 0,5 + sinx + cosx = cosx; в) корень cos2x = sinx; г) корень sinx + sin Зх = -cosx.
а) $$\sqrt{\cos x}=\sin x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\cos x=\sin^2 x$$
Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем:
$$\cos x=1-\cos^2 x$$
$$\cos^2 x+\cos x-1=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:
$$y^2+y-1=0$$
$$y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
Из них подходит только значение
$$\cos x=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
Так как левая часть исходного уравнения неотрицательна, нужно ещё $$\sin x\ge 0$$. Поэтому
$$x=\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$\sqrt{0{,}5+\sin x+\cos x}=\cos x$$
Область определения: $$\cos x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$0{,}5+\sin x+\cos x=\cos^2 x$$
$$0{,}5+\sin x+\cos x-\cos^2 x=0$$
Используем $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$0{,}5+\sin x+1-\sin^2 x+\cos x-1=0$$
Удобнее преобразовать так:
$$0{,}5+\sin x+\cos x-\cos^2 x=0$$
$$0{,}5+\sin x+\cos x-(1-\sin^2 x)=0$$
$$\sin^2 x+\sin x+\cos x-0{,}5=0$$
Разложим исходное выражение:
$$0{,}5+\sin x+\cos x-\cos^2 x=(\sin x+\cos x)(0{,}5\sin x-0{,}5\cos x+1)$$
Тогда:
$$\sin x+\cos x=0$$
или
$$0{,}5\sin x-0{,}5\cos x+1=0$$
Во втором случае:
$$\sin x-\cos x=-2$$
Это невозможно, так как $$|\sin x-\cos x|\le \sqrt2$$.
Значит, остаётся:
$$\sin x=-\cos x$$
$$\tg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
С учётом условия $$\cos x\ge 0$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$\sqrt{\cos 2x}=\sin x$$
Область определения: $$\sin x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$\cos 2x=\sin^2 x$$
Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$, имеем:
$$1-2\sin^2 x=\sin^2 x$$
$$3\sin^2 x=1$$
$$\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt3}$$
С учётом $$\sin x\ge 0$$:
$$\sin x=\frac{1}{\sqrt3}$$
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{\sqrt3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) $$\sqrt{\sin x+\sin 3x}=-\cos x$$
Область определения: $$-\cos x\ge 0$$, то есть $$\cos x\le 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$\sin x+\sin 3x=\cos^2 x$$
Используем формулу суммы:
$$2\sin 2x\cos x=\cos^2 x$$
$$4\sin x\cos^2 x=\cos^2 x$$
$$\cos^2 x(4\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0$$
или
$$\sin x=\frac14$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\sin x=\frac14 \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
С учётом условия $$\cos x\le 0$$ подходит только ветвь
$$x=\pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
и также
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{\sqrt3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
