Упр.30.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.14. a) корень x4 — 3х2 + 4 = х2 — 5; б) корень x4 — 3х — 1 = х2 — 1; в) корень х4 — 3х2 + 4 = 5 — х2; г) корень x4 — 3х — 1 = 1 — х2.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x^4-3x^2+4}=x^2-5$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x^2+4=(x^2-5)^2=x^4-10x^2+25$$
$$7x^2=21$$
$$x^2=3,\quad x=\pm\sqrt3$$
Проверим область допустимых значений:
$$x^2-5\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2\ge 5$$
Но $$x^2=3$$ этому не удовлетворяет, значит, корней нет.
б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x-1=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac12$$
Проверим ОДЗ:
$$x^2-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Число $$-\frac12$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.
в) $$\sqrt{x^4-3x^2+4}=5-x^2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x^2+4=(5-x^2)^2=25-10x^2+x^4$$
$$7x^2=21$$
$$x^2=3,\quad x=\pm\sqrt3$$
Проверим ОДЗ:
$$5-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2\le 5$$
Оба значения подходят.
г) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x-1=(1-x^2)^2=1-2x^2+x^4$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$D=25,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac12$$
Проверим ОДЗ:
$$1-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 1$$
Подходит только $$x=-\frac12$$.