Упр.30.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 30.13. а) корень х+12 = х; в) корень 5 + 12х — х2 = х — 7; б) корень x3 + х2 + 1 = х; г) корень х3 + x2 — 1 = x.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x+12}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+12=x^2$$
$$x^2-x-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=4$$
С учётом области определения $$x\ge 0$$ подходит только $$x=4$$.
б) $$\sqrt{x^3+x^2+1}=x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x^3+x^2+1=x^2$$
$$x^3+1=0$$
$$x=-1$$
Но $$x=-1$$ не принадлежит области определения, значит корней нет.
в) $$\sqrt{5+12x-x^2}=x-7$$
Область определения: $$x-7\ge 0$$, то есть $$x\ge 7$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$5+12x-x^2=(x-7)^2$$
$$5+12x-x^2=x^2-14x+49$$
$$2x^2-26x+44=0$$
$$x^2-13x+22=0$$
$$D=169-88=81$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 9}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=11$$
С учётом условия $$x\ge 7$$ подходит только $$x=11$$.
г) $$\sqrt{x^3+x^2-1}=x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x^3+x^2-1=x^2$$
$$x^3-1=0$$
$$x=1$$
Это значение удовлетворяет области определения.