Упр.30.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.11. Решите уравнение с параметром а: а) корень x + 2 = корень 2а-х; б) корень x — 2а = корень 4 + 2а — 5х; в) корень 5а — 2x + 1 = корень 6х — а — 7; г) корень 4 — x2 = корень 4х + а.
$$\sqrt{x+2}=\sqrt{2a-x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+2=2a-x$$
$$2x=2a-2$$
$$x=a-1$$
Проверим область определения:
$$x+2\ge 0,\qquad 2a-x\ge 0$$
Подставим $$x=a-1$$:
$$a-1+2\ge 0$$
$$a+1\ge 0$$
$$a\ge -1$$
$$\sqrt{x-2a}=\sqrt{4+2a-5x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x-2a=4+2a-5x$$
$$6x=4+4a$$
$$x=\frac{2(a+1)}{3}$$
Проверим область определения:
$$x-2a\ge 0,\qquad 4+2a-5x\ge 0$$
Подставим $$x=\frac{2(a+1)}{3}$$:
$$\frac{2(a+1)}{3}\ge 2a$$
$$2a+2\ge 6a$$
$$4a\le 2$$
$$a\le \frac12$$
$$\sqrt{5a-2x+1}=\sqrt{6x-a-7}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5a-2x+1=6x-a-7$$
$$8x=6a+8$$
$$x=\frac{3a}{4}+1$$
Проверим область определения:
$$5a-2x+1\ge 0,\qquad 6x-a-7\ge 0$$
Подставим $$x=\frac{3a}{4}+1$$:
$$6\left(\frac{3a}{4}+1\right)-a-7\ge 0$$
$$\frac{18a}{4}+6-a-7\ge 0$$
$$\frac{14a}{4}-1\ge 0$$
$$7a\ge 2$$
$$a\ge \frac27$$
$$\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4x+a}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4-x^2=4x+a$$
$$x^2+4x+a-4=0$$
$$x=-2\pm \sqrt{8-a}$$
Проверим область определения:
$$4-x^2\ge 0,\qquad 4x+a\ge 0$$
Для $$x_1=-2+\sqrt{8-a}$$:
$$4\left(-2+\sqrt{8-a}\right)+a\ge 0$$
$$4\sqrt{8-a}\ge 8-a$$
Это верно при $$a\le 8$$.
Для $$x_2=-2-\sqrt{8-a}$$:
$$4\left(-2-\sqrt{8-a}\right)+a\ge 0$$
$$4\sqrt{8-a}\le a-8$$
Это возможно только при $$a=8$$, но тогда $$x_1=x_2=-2$$.
Значит, при $$a\le 8$$ подходит только корень $$x=-2+\sqrt{8-a}$$.
Ответ
а) $$x=a-1$$, если $$a\ge -1$$; при $$a<-1$$ корней нет.
б) $$x=\frac{2(a+1)}{3}$$, если $$a\le \frac12$$; при $$a>\frac12$$ корней нет.
в) $$x=\frac{3a}{4}+1$$, если $$a\ge \frac27$$; при $$a<\frac27$$ корней нет.
г) $$x=-2+\sqrt{8-a}$$, если $$a\le 8$$; при $$a>8$$ корней нет.
