Упр.30.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.10. a) корень lg (1 — x) = корень lgx; б) корень (log 0,2 корень (x-1)) = корень log (0,2 корень (3-х)); в) корень (log 0,3 (1 — x)) = корень log 0,3x; г) корень (log 0,2корень (x-1) = корень (log 0,2 корень (9-х)).

Подробный ответ

$$\sqrt{\lg(1-x)}=\sqrt{\lg x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\lg(1-x)=\lg x$$
Тогда
$$1-x=x$$
$$2x=1,\quad x=\frac12$$
Проверим область определения:
$$\lg(1-x)\ge 0,\quad \lg x\ge 0$$
Отсюда
$$1-x\ge 1,\quad x\ge 1$$
То есть одновременно должно выполняться $$x\le 0$$ и $$x\ge 1$$, что невозможно.
Корней нет.
$$\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{x-1}}=\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{3-x}}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\log_{0,2}\sqrt{x-1}=\log_{0,2}\sqrt{3-x}$$
Так как основания логарифмов одинаковые, получаем:
$$\sqrt{x-1}=\sqrt{3-x}$$
$$x-1=3-x$$
$$2x=4,\quad x=2$$
Проверка области определения:
$$x-1>0,\quad 3-x>0$$
$$x>1,\quad x<3$$
При $$x=2$$ все условия выполняются.
$$\sqrt{\log_{0,3}(1-x)}=\sqrt{\log_{0,3}x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\log_{0,3}(1-x)=\log_{0,3}x$$
Следовательно,
$$1-x=x$$
$$2x=1,\quad x=\frac12$$
Проверка области определения:
$$1-x>0,\quad x>0$$
$$0<x<1$$
Значение $$x=\frac12$$ подходит.
$$\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{x-1}}=\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{9-x}}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\log_{0,2}\sqrt{x-1}=\log_{0,2}\sqrt{9-x}$$
Тогда
$$\sqrt{x-1}=\sqrt{9-x}$$
$$x-1=9-x$$
$$2x=10,\quad x=5$$
Проверка области определения:
$$x-1>0,\quad 9-x>0$$
$$x>1,\quad x<9$$
При $$x=5$$ все условия выполняются.