Упр.3.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.15. а) х6 — 4×3 + 3 = 0; б) (2 — х)6 + 9(2 — x)3 + 8 = 0; в) x6 — 7х3 — 8 = 0; г) (2 — x — х2)6 — 14,7(2 — x — х2)3 + 57 = 0.

1. а) Обозначим $$x^3=t$$. Тогда получаем квадратное уравнение

   $$t^2-4t+3=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0.$$

   Отсюда $$t_1=1$$, $$t_2=3$$. Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$x^3=1 \Rightarrow x=1,$$

   $$x^3=3 \Rightarrow x=\sqrt[3]{3}.$$

2. б) Пусть $$t=(2-x)^3$$. Тогда

   $$t^2+9t+8=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2+9t+8=(t+1)(t+8)=0.$$

   Следовательно, $$t_1=-1$$, $$t_2=-8$$. Тогда

   $$ (2-x)^3=-1 \Rightarrow 2-x=-1 \Rightarrow x=3,$$

   $$ (2-x)^3=-8 \Rightarrow 2-x=-2 \Rightarrow x=4.$$

3. в) Обозначим $$x^3=t$$. Получаем

   $$t^2-7t-8=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2-7t-8=(t-8)(t+1)=0.$$

   Отсюда $$t_1=8$$, $$t_2=-1$$. Тогда

   $$x^3=8 \Rightarrow x=2,$$

   $$x^3=-1 \Rightarrow x=-1.$$

4. г) Пусть $$t=(2-x-x^2)^3$$. Тогда

   $$t^2-14{,}7t+57=0.$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D=14{,}7^2-4\cdot 57=216{,}09-228=-11{,}91<0.$$

   Значит, действительных значений $$t$$ нет, следовательно, нет и действительных корней уравнения.

Ответ

а) $$1,\ \sqrt[3]{3}$$; б) $$3,\ 4$$; в) $$-1,\ 2$$; г) корней нет.