Упр.3.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.5. Найдите целые корни уравнения: а) х3 + 3х2 — 5х — 4 = 0; б) х4 — 3х3 + 4х2 — 9х + 3 = 0; в) х4 + 2х3 — 5х2 — 4х + 6 = 0; г) х5 — х4 — 5х3 + 5х2 + 4х — 4 = 0.

а) Рассмотрим целые делители свободного члена $$-4$$: $$x=\pm1,\pm2,\pm4.$$

Проверим $$x=-4$$:

$$(-4)^3+3(-4)^2-5(-4)-4=-64+48+20-4=0.$$

Значит, $$x=-4$$ — корень. Разделим многочлен на $$x+4$$:

$$x^3+3x^2-5x-4=(x+4)(x^2-x-1).$$

Уравнение $$x^2-x-1=0$$ не имеет целых корней, так как

$$D=1+4=5,$$

а $$\sqrt{5}$$ не является целым числом.

Следовательно, целый корень один: $$x=-4.$$

б) Возможные целые корни: $$x=\pm1,\pm3.$$

Проверим их:

$$f(1)=1-3+4-9+3=-4\ne0,$$

$$f(-1)=1+3+4+9+3=20\ne0,$$

$$f(3)=81-81+36-27+3=12\ne0,$$

$$f(-3)=81+81+36+27+3=228\ne0.$$

Целых корней нет.

в) Возможные целые корни: $$x=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6.$$

Проверим $$x=1$$:

$$1^4+2\cdot1^3-5\cdot1^2-4\cdot1+6=1+2-5-4+6=0.$$

Значит, $$x=1$$ — корень. Делим многочлен на $$x-1$$:

$$x^4+2x^3-5x^2-4x+6=(x-1)(x^3+3x^2-2x-6).$$

Проверим $$x=-3$$ для кубического множителя:

$$(-3)^3+3(-3)^2-2(-3)-6=-27+27+6-6=0.$$

Тогда

$$x^3+3x^2-2x-6=(x+3)(x-1)(x^2-2).$$

Уравнение $$x^2-2=0$$ не даёт целых корней.

Следовательно, целые корни: $$x=-3,\;1.$$

г) Сгруппируем слагаемые:

$$x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4=x^4(x-1)-5x^2(x-1)+4(x-1).$$

Вынесем общий множитель $$x-1$$:

$$x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4=(x-1)(x^4-5x^2+4).$$

Решим уравнение

$$x^4-5x^2+4=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-5t+4=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=4.$$

Отсюда

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,$$

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2.$$

Также из множителя $$x-1=0$$ получаем $$x=1$$.

Итак, целые корни: $$x=-2,\,-1,\,1,\,2.$$

Ответ

а) $$-4$$; б) целых корней нет; в) $$-3,\;1$$; г) $$-2,\,-1,\;1,\;2$$.