Упр.3.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное число р является корнем данного уравнения; для каждого найденного значения а решите данное уравнение: а) х3 + 3×2 — 7х + а = 0, р = 2; б) х3 — ах2 — 5x + 4 = 0, р = 1; в) 2×3 — 5×2 + ах — 4 = 0, р = -1; г) ах3 — Зх2 — 5х — а2 = 0, р = -1.
а) Подставим $$x=2$$ в уравнение $$x^3+3x^2-7x+a=0$$:
$$2^3+3\cdot 2^2-7\cdot 2+a=0$$
$$8+12-14+a=0$$
$$a=-6.$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$x^3+3x^2-7x-6=0.$$
Проверим деление на $$x-2$$:
$$x^3+3x^2-7x-6=(x-2)(x^2+5x+3).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+5x+3=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 3=25-12=13.$$
$$x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}.$$
б) Подставим $$x=1$$ в уравнение $$x^3-ax^2-5x+4=0$$:
$$1^3-a\cdot 1^2-5\cdot 1+4=0$$
$$1-a-5+4=0$$
$$a=0.$$
Тогда уравнение:
$$x^3-5x+4=0.$$
Разложим на множители:
$$x^3-5x+4=(x-1)(x^2+x-4).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+x-4=0,$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17.$$
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}.$$
в) Подставим $$x=-1$$ в уравнение $$2x^3-5x^2+ax-4=0$$:
$$2\cdot (-1)^3-5\cdot (-1)^2+a\cdot (-1)-4=0$$
$$-2-5-a-4=0$$
$$a=-11.$$
Тогда уравнение:
$$2x^3-5x^2-11x-4=0.$$
Разложим на множители:
$$2x^3-5x^2-11x-4=(x+1)(2x^2-7x-4).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$2x^2-7x-4=0,$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81.$$
$$x=\frac{7\pm 9}{4}.$$
Отсюда $$x_1=-\frac12,\; x_2=4.$$
г) Подставим $$x=-1$$ в уравнение $$ax^3-3x^2-5x-a^2=0$$:
$$a\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)-a^2=0$$
$$-a-3+5-a^2=0$$
$$a^2+a-2=0.$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9.$$
$$a=\frac{-1\pm 3}{2},$$
значит, $$a_1=-2,\; a_2=1.$$
1) Если $$a=-2$$, то
$$-2x^3-3x^2-5x-4=0.$$
Разложение:
$$-2x^3-3x^2-5x-4=(x+1)(-2x^2-x-4).$$
Для квадратного уравнения
$$-2x^2-x-4=0$$
$$D=1-32=-31<0,$$
поэтому действительных корней нет. Тогда $$x=-1.$$
2) Если $$a=1$$, то
$$x^3-3x^2-5x-1=0.$$
Разложение:
$$x^3-3x^2-5x-1=(x+1)(x^2-4x-1).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2-4x-1=0,$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=16+4=20.$$
$$x=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}=2\pm \sqrt5.$$
С учётом множителя $$x+1$$ получаем корень $$x=-1.$$
Ответ
а) $$a=-6$$, $$x=2,\; \frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}$$;
б) $$a=0$$, $$x=1,\; \frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$$;
в) $$a=-11$$, $$x=-1,\; -\frac12,\; 4$$;
г) $$a=-2$$, $$x=-1$$; $$a=1$$, $$x=-1,\; 2\pm \sqrt5$$.
