Упр.3.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.32. Используя результаты номера 3.31, решите уравнение: а) x4 + x3 — 4×2 — x + 1 = 0; б) x4 + x2 — 4x — 3 = 0; в) x4 — 5×2 — 6x — 5 = 0; г) x4 — 5x — 6 = 0.
а)
$$x^4+x^3-4x^2-x+1=0$$
$$\left(x^2-x-1\right)\left(x^2+2x-1\right)=0$$Решаем первое квадратное уравнение:
$$x^2-x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$Решаем второе квадратное уравнение:
$$x^2+2x-1=0$$
$$D=4+4=8$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt8}{2}=-1\pm\sqrt2$$б)
$$x^4+x^2-4x-3=0$$
$$\left(x^2-x-1\right)\left(x^2+x+3\right)=0$$Первое уравнение уже решено:
$$x^2-x-1=0$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$Для второго уравнения:
$$x^2+x+3=0$$
$$D=1-12=-11<0$$Действительных корней нет.
в)
$$x^4-5x^2+6x-5=0$$
$$\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x-5\right)=0$$Первое уравнение:
$$x^2-x+1=0$$
$$D=1-4=-3<0$$Действительных корней нет.
Второе уравнение:
$$x^2+x-5=0$$
$$D=1+20=21$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$$г)
$$x^4-5x-6=0$$
$$\left(x^2+x+3\right)\left(x^2-x-2\right)=0$$Первое уравнение:
$$x^2+x+3=0$$
$$D=1-12=-11<0$$Действительных корней нет.
Второе уравнение:
$$x^2-x-2=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1$$
Ответ
а) $$\frac{1\pm\sqrt5}{2},\ -1\pm\sqrt2$$;
б) $$\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$;
в) $$\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$$;
г) $$-1,\ 2$$.
