Упр.3.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.31. Найдите, если это возможно, такие целые числа а, b, с и d, что для всех значений x выполняется равенство: а) x4 + x3 — 4×2 — x + 1 = (x2 + ах + b)(x2 + сх + d); б) x4 + x2 — 4x — 3 = (x2 + ах + b)(х2 + сх + d); в) x4 — 5×2 — 6x — 5 = (x2 + ах + b)(x2 + сх + d); г) x4 — 5x — 6 = (x2 + ах + Ь)(х2 + сх + d).
а) Пусть
$$x^4+x^3-4x^2-x+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Раскроем скобки и сравним коэффициенты:
$$x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd.$$
Тогда
$$ \begin{cases} a+c=1,\\ ac+b+d=-4,\\ ad+bc=-1,\\ bd=1. \end{cases} $$
Из условия $$bd=1$$ получаем два случая: $$b=d=1$$ или $$b=d=-1$$.
1) Если $$b=d=1$$, то из системы получаем $$ac=-6$$ и $$a+c=1$$, что невозможно для целых чисел.
2) Если $$b=d=-1$$, то
$$ \begin{cases} a+c=1,\\ ac=-2. \end{cases} $$
Отсюда $$a=2,\ c=-1$$ или $$a=-1,\ c=2$$.
Подходит разложение
$$x^4+x^3-4x^2-x+1=(x^2-x-1)(x^2+2x-1).$$
б) Пусть
$$x^4+x^2-4x-3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Сравним коэффициенты:
$$ \begin{cases} a+c=0,\\ ac+b+d=1,\\ ad+bc=-4,\\ bd=-3. \end{cases} $$
Из $$a+c=0$$ имеем $$c=-a$$. Переберём пары целых чисел $$b$$ и $$d$$, для которых $$bd=-3$$:
$$ (b,d)=(1,-3),\ (-1,3),\ (3,-1),\ (-3,1). $$
Подходит пара $$b=-1,\ d=3$$, тогда из системы получаем $$a=-1,\ c=1$$.
Проверка:
$$x^4+x^2-4x-3=(x^2-x-1)(x^2+x+3).$$
в) Пусть
$$x^4-5x^2+6x-5=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Тогда
$$ \begin{cases} a+c=0,\\ ac+b+d=-5,\\ ad+bc=6,\\ bd=-5. \end{cases} $$
Из $$a+c=0$$ следует $$c=-a$$. Рассмотрим делители числа $$-5$$:
$$ (b,d)=(1,-5),\ (-1,5),\ (5,-1),\ (-5,1). $$
Подходит пара $$b=1,\ d=-5$$, тогда $$a=-1,\ c=1$$.
Проверка:
$$x^4-5x^2+6x-5=(x^2-x+1)(x^2+x-5).$$
г) Пусть
$$x^4-5x-6=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Сравним коэффициенты:
$$ \begin{cases} a+c=0,\\ ac+b+d=0,\\ ad+bc=-5,\\ bd=-6. \end{cases} $$
Из $$a+c=0$$ имеем $$c=-a$$. Подходит пара $$b=3,\ d=-2$$, тогда из системы получаем $$a=1,\ c=-1$$.
Проверка:
$$x^4-5x-6=(x^2+x+3)(x^2-x-2).$$
Ответ
а) $$a=-1,\ b=-1,\ c=2,\ d=-1$$; б) $$a=-1,\ b=-1,\ c=1,\ d=3$$; в) $$a=-1,\ b=1,\ c=1,\ d=-5$$; г) $$a=1,\ b=3,\ c=-1,\ d=-2$$.
