Упр.3.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.34. Докажите, что если функция у = f(x) выпукла вверх (вниз) на R, то уравнение f(x) = ах + b имеет не более двух корней, и решите уравнение: а) x4 = 15x — 14; б) x10 = 1023x — 1022.
Если функция $$y=f(x)$$ выпукла вверх или вниз на $$\mathbb{R}$$, то любая прямая $$y=ax+b$$ может пересекать её график не более чем в двух точках. Иначе, если бы было три точки пересечения $$x_1<x_2<x_3$$, то на отрезках $$[x_1;x_2]$$ и $$[x_2;x_3]$$ график функции должен был бы лежать по одну сторону от этой прямой. Но для выпуклой функции это невозможно: можно провести прямую так, что график окажется по разные стороны от неё, что приводит к противоречию.
Решим уравнения.
$$x^4=15x-14$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^4-15x+14=0$$
Проверим целые корни:
$$1^4-15\cdot 1+14=1-15+14=0$$
$$2^4-15\cdot 2+14=16-30+14=0$$
Так как уравнение имеет не более двух корней, найденные корни и есть все решения.
$$x^{10}=1023x-1022$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^{10}-1023x+1022=0$$
Проверим значения $$x=1$$ и $$x=2$$:
$$1^{10}-1023\cdot 1+1022=1-1023+1022=0$$
$$2^{10}-1023\cdot 2+1022=1024-2046+1022=0$$
По доказанному выше уравнение не может иметь более двух корней, значит других решений нет.
Ответ
а) $$1, 2$$; б) $$1, 2$$.
