Упр.3.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.33. Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень: а) x3 = 10 — x; б) x5 + 3×3 = 11-корень из 2 — x.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=x^3$$ и $$g(x)=10-x.$$

Функция $$f(x)=x^3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=10-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, уравнение $$x^3=10-x$$ может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=2$$:

$$2^3=8,\qquad 10-2=8.$$

Следовательно, $$x=2$$ — корень уравнения, и он единственный.

б) Рассмотрим функции $$f(x)=x^5+3x^3$$ и $$g(x)=11\sqrt{2}-x.$$

Найдём производную функции $$f(x)$$:

$$f'(x)=5x^4+9x^2\ge 0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Функция $$g(x)=11\sqrt{2}-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Поэтому уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=\sqrt{2}$$:

$$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^5+3(\sqrt{2})^3=4\sqrt{2}+6\sqrt{2}=10\sqrt{2},$$

$$g(\sqrt{2})=11\sqrt{2}-\sqrt{2}=10\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$x=\sqrt{2}$$ — корень уравнения, и он единственный.

Ответ

а) $$2$$; б) $$\sqrt{2}$$.