Упр.3.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.3 а) х3 — Зх2 — х + 3 = 0; б) х8 + 11х5 — 32х3 — 352 = 0; в) 5х3 — 15х2 — х + 3 = 0; г) х3 — 2х2 + х = (х2 — 2х + 1)2.
$$x^3-3x^2-x+3=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^2(x-3)-1(x-3)=0$$
$$\left(x^2-1\right)(x-3)=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)(x-3)=0$$
Отсюда:
$$x=-1,\;1,\;3$$
$$x^8+11x^5-32x^3-352=0$$
Сгруппируем:
$$x^5(x^3+11)-32(x^3+11)=0$$
$$\left(x^5-32\right)\left(x^3+11\right)=0$$
Тогда:
$$x^5=32 \Rightarrow x=2$$
$$x^3=-11 \Rightarrow x=-\sqrt[3]{11}$$
$$5x^3-15x^2-x+3=0$$
Сгруппируем:
$$5x^2(x-3)-(x-3)=0$$
$$\left(5x^2-1\right)(x-3)=0$$
$$\left(\sqrt{5}x-1\right)\left(\sqrt{5}x+1\right)(x-3)=0$$
Отсюда:
$$x=\frac{1}{\sqrt{5}},\;x=-\frac{1}{\sqrt{5}},\;x=3$$
То же самое можно записать так:
$$x=\frac{\sqrt{5}}{5},\;x=-\frac{\sqrt{5}}{5},\;x=3$$
$$x^3-2x^2+x=(x^2-2x+1)^2$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x(x^2-2x+1)-(x^2-2x+1)^2=0$$
Вынесем общий множитель:
$$\left(x^2-2x+1\right)\left(x-\left(x^2-2x+1\right)\right)=0$$
$$\left(x-1\right)^2\left(-x^2+3x-1\right)=0$$
Отсюда:
$$x=1$$
или
$$x^2-3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$$
Ответ
а) $$-1,\;1,\;3$$; б) $$-\sqrt[3]{11},\;2$$; в) $$-\frac{\sqrt{5}}{5},\;\frac{\sqrt{5}}{5},\;3$$; г) $$1,\;\frac{3-\sqrt{5}}{2},\;\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$.
