Упр.3.29 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.29. а) Зx4 — 5×2 + 2 = 0; б) 7×8 + 3×4 — 10 = 0; в) x5 + 3×4 — 3×3 — x2 — 3x + 3 = 0; г) (2×2 — 3x + 1)2 — 5(2×2 — 3x + 1)(x2 + x + 3) + 4(x2 + x + 3)2 =0.

1. а) Пусть $$x^2=t$$, тогда получаем квадратное уравнение

   $$3t^2-5t+2=0.$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm1}{6}.$$

   Отсюда $$t_1=1,$$ $$t_2=\frac23.$$

   Тогда

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,$$

   $$x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac23}.$$

2. б) Пусть $$x^4=t,$$ тогда

   $$7t^2+3t-10=0.$$

   $$D=9+280=289=17^2,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-3\pm17}{14}.$$

   Получаем $$t_1=1,$$ $$t_2=-\frac{10}{7}.$$

   Так как $$x^4\ge 0,$$ то значение $$t_2$$ не подходит. Значит,

   $$x^4=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

3. в) Разложим левую часть на множители:

   $$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3=(x^2+3x-3)(x^3-1).$$

   Тогда

   $$ (x^2+3x-3)(x^3-1)=0.$$

   Отсюда

   $$x^2+3x-3=0 \quad \text{или} \quad x^3-1=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$D=9+12=21,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}.$$

   Из второго уравнения:

   $$x^3=1 \Rightarrow x=1.$$

4. г) Обозначим

   $$a=2x^2-3x+1,\qquad b=x^2+x+3.$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$a^2-5ab+4b^2=0.$$

   Разложим на множители:

   $$a^2-5ab+4b^2=(a-b)(a-4b)=0.$$

   Значит,

   $$a=b \quad \text{или} \quad a=4b.$$

   1) Если $$a=b,$$ то

   $$2x^2-3x+1=x^2+x+3,$$

   $$x^2-4x-2=0,$$

   $$D=16+8=24,$$

   $$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{2}=2\pm\sqrt6.$$

   2) Если $$a=4b,$$ то

   $$2x^2-3x+1=4(x^2+x+3),$$

   $$2x^2+7x+11=0,$$

   $$D=49-88=-39<0,$$

   действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=\pm1,\ \pm\sqrt{\frac23}$$; б) $$x=\pm1$$; в) $$x=1,\ \frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}$$; г) $$x=2\pm\sqrt6$$.