Упр.3.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.30. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней; а) x6 — x5 + 2 = 0; б) x14 — x + 3 = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^6-x^5+2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^5-5x^4=x^4(6x-5).$$
Так как $$x^4\ge 0,$$ то при $$x\ge \frac56$$ имеем $$f'(x)\ge 0,$$ значит, на этом промежутке функция не убывает.
Тогда наименьшее значение на этом промежутке достигается при $$x=\frac56$$:
$$f\!\left(\frac56\right)=\left(\frac56\right)^6-\left(\frac56\right)^5+2>0.$$
Следовательно, $$f(x)>0$$ при всех действительных $$x,$$ а значит, уравнение $$x^6-x^5+2=0$$ не имеет действительных корней.
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^{14}-x+3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=14x^{13}-1.$$
При $$x\ge \sqrt[13]{\frac1{14}}$$ имеем $$f'(x)\ge 0,$$ значит, на этом промежутке функция не убывает.
Тогда наименьшее значение достигается при $$x=\sqrt[13]{\frac1{14}}$$:
$$f\!\left(\sqrt[13]{\frac1{14}}\right)=\left(\sqrt[13]{\frac1{14}}\right)^{14}-\sqrt[13]{\frac1{14}}+3>0.$$
Следовательно, $$x^{14}-x+3=0$$ не имеет действительных корней.