Упр.3.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.13. Найдите все значения параметров а и Ь, при каждом из которых многочлен р{х) имеет три различных целых корня: а) р(х) = x3 + ах2 + bх + 2; б) р(x) = bх3 + ах2 + х + 2.

Подробный ответ

а) Пусть корни многочлена $$p(x)=x^3+ax^2+bx+2$$ — три различных целых числа $$x_1, x_2, x_3$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1x_2x_3=-2.$$

Так как корни целые и различны, возможны только числа $$-1, 1, 2$$. Проверим их произведение:

$$(-1)\cdot 1\cdot 2=-2.$$

Значит,

$$p(x)=(x+1)(x-1)(x-2).$$

Раскроем скобки:

$$ (x+1)(x-1)(x-2)=(x^2-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2. $$

Сравнивая с $$x^3+ax^2+bx+2$$, получаем

$$a=-2,\quad b=-1.$$

б) Пусть теперь

$$p(x)=bx^3+ax^2+x+2$$

имеет три различных целых корня $$x_1, x_2, x_3$$. Тогда

$$p(x)=b(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3),$$

и по свободному члену

$$-bx_1x_2x_3=2,$$

то есть

$$bx_1x_2x_3=-2.$$

Снова возможны только корни $$-1, 1, 2$$. Тогда

$$x_1x_2x_3=-2,$$

откуда

$$b=1.$$

В этом случае

$$ p(x)=(x+1)(x-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2, $$

но коэффициент при $$x^3$$ должен быть равен $$b=1$$, что совпадает. Однако коэффициент при $$x$$ в исходном многочлене равен $$1$$, а в полученном разложении он равен $$-1$$, значит этот набор не подходит.

Если взять корни $$-1, 1, -2$$, то

$$(-1)\cdot 1\cdot (-2)=2,$$

и тогда

$$b=-1.$$

Проверим:

$$ -(x+1)(x-1)(x+2)=-x^3-2x^2+x+2. $$

Это соответствует виду $$bx^3+ax^2+x+2$$, значит

$$a=-2,\quad b=-1.$$