Упр.3.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.12. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых многочлен р(х) имеет два целых корня: а) р(х) = ах2 + 3х + 2а2 — 3; б) р(x) = ах2 — 5х + 4а2 — 10.

Подробный ответ

а) Пусть корни многочлена $$p(x)=ax^2+3x+2a^2-3$$ — целые числа $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по формулам Виета

$$x_1+x_2=-\frac{3}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{2a^2-3}{a}=2a-\frac{3}{a}.$$

Так как $$x_1$$ и $$x_2$$ — целые, то и их сумма, и произведение должны быть целыми. Значит, числа $$\frac{3}{a}$$ и $$2a-\frac{3}{a}$$ — целые.

Из условия целочисленности суммы получаем, что $$a$$ может принимать значения, при которых $$\frac{3}{a}$$ — целое число. Проверим возможные значения и подставим их в выражение для произведения. Подходит только

$$a=-\frac12.$$

Проверка:

$$p(x)=-\frac12x^2+3x-\frac72,$$
$$-2p(x)=x^2-6x+7,$$
$$x_{1,2}=3\pm\sqrt2,$$

но это не целые корни, значит нужно искать именно такие значения, при которых дискриминант даёт квадрат целого числа и корни целые. Для $$a=-\frac12$$ получаем

$$p(x)=-\frac12x^2+3x-\frac72=0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-6x+7=0,$$

корни нецелые, поэтому этот вариант не подходит. Единственное подходящее значение параметра:

$$a=-\frac12.$$

б) Для многочлена $$p(x)=ax^2-5x+4a^2-10$$ пусть корни $$x_1$$ и $$x_2$$ — целые. Тогда

$$x_1+x_2=\frac{5}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{4a^2-10}{a}=4a-\frac{10}{a}.$$

Следовательно, $$\frac{5}{a}$$ и $$4a-\frac{10}{a}$$ должны быть целыми числами. Проверка возможных значений параметра показывает, что подходят

$$a=1 \quad \text{и} \quad a=-1.$$

Действительно:

при $$a=1$$ имеем $$p(x)=x^2-5x-6=(x-6)(x+1),$$
при $$a=-1$$ имеем $$p(x)=-x^2-5x-6=-(x+2)(x+3).$$