Упр.3.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.11. Найдите все целые значения параметра а, при каждом из которых многочлен р(х) имеет хотя бы один целый корень; для каждого найденного значения а определите число различных целых корней многочлена р{х): а) р(х) = х3 — 3х2 + ах — 1; б) р(х) = х4 + ах2 — (2а + 3)х — 7.

а) $$p(x)=x^3-3x^2+ax-1$$

Если многочлен имеет целый корень, то по теореме о рациональных корнях возможны корни $$x=\pm1$$.

Проверим:

$$p(1)=1-3+a-1=a-3,$$

откуда при $$p(1)=0$$ получаем $$a=3.$$ Тогда

$$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,$$

значит, целый корень один: $$x=1$$.

Теперь проверим $$x=-1$$:

$$p(-1)=-1-3-a-1=-a-5,$$

откуда при $$p(-1)=0$$ получаем $$a=-5.$$ Тогда

$$x^3-3x^2-5x-1=(x+1)(x^2-4x-1).$$

Для квадратного множителя

$$D=16+4=20,$$

$$\sqrt{D}\notin \mathbb{Z},$$

поэтому других целых корней нет. Значит, целый корень один: $$x=-1$$.

б) $$p(x)=x^4+ax^2-(2a+3)x-7$$

Если многочлен имеет целый корень, то возможные целые корни — делители числа $$7$$, то есть $$x=\pm1,\pm7$$.

Проверим $$x=1$$:

$$p(1)=1+a-(2a+3)-7=-a-9,$$

откуда $$a=-9.$$ Тогда

$$x^4-9x^2+15x-7=(x-1)(x^3+x^2-8x+7).$$

Проверим целые корни кубического множителя среди $$\pm1,\pm7$$:

$$1+1-8+7=1\neq0,$$

$$-1+1+8+7=15\neq0,$$

$$343+49-56+7=343\neq0,$$

$$-343+49+56+7=-231\neq0.$$

Значит, при $$a=-9$$ целый корень только один: $$x=1$$.

Проверим $$x=-1$$:

$$p(-1)=1+a+(2a+3)-7=3a-3,$$

откуда $$a=1.$$ Тогда

$$x^4+x^2-5x-7=(x+1)(x^3-x^2+2x-7).$$

Проверим целые корни кубического множителя:

$$1-1+2-7=-5\neq0,$$

$$-1-1-2-7=-11\neq0,$$

$$343-49+14-7=301\neq0,$$

$$-343-49-14-7=-413\neq0.$$

Следовательно, при $$a=1$$ целый корень только один: $$x=-1$$.

Ответ

а) $$a=3$$ или $$a=-5$$; в каждом случае один целый корень.
б) $$a=-9$$ или $$a=1$$; в каждом случае один целый корень.