Упр.3.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.10. а) На основании того, что число корень из 2 является корнем уравнения х2 — 2 = О, докажите, что корень корень из 2 — иррациональное число. б) Проверив, что корень из 3 — корень из 2 является корнем уравнения х4 — 10х2 +1 = 0, докажите, что корень 3 — корень 2 — иррацио- нальное число.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение $$x^2-2=0.$$ Его корень равен $$x=\sqrt2.$$

Это приведённое уравнение с целыми коэффициентами. Если бы $$\sqrt2$$ было рациональным числом, то, будучи корнем такого уравнения, оно должно было бы быть целым числом. Но целых корней у уравнения $$x^2-2=0$$ нет, так как числа $$\pm1,\pm2$$ не обращают его в нуль:

$$1^2-2=-1,\quad (-1)^2-2=-1,\quad 2^2-2=2,\quad (-2)^2-2=2.$$

Значит, $$\sqrt2$$ не является рациональным числом.

б) Проверим, что число $$\sqrt3-\sqrt2$$ является корнем уравнения $$x^4-10x^2+1=0.$$ Действительно,

$$ (\sqrt3-\sqrt2)^2=3+2-2\sqrt6=5-2\sqrt6, $$

$$ (\sqrt3-\sqrt2)^4=(5-2\sqrt6)^2=25-20\sqrt6+24=49-20\sqrt6. $$

Тогда

$$ (\sqrt3-\sqrt2)^4-10(\sqrt3-\sqrt2)^2+1 =(49-20\sqrt6)-10(5-2\sqrt6)+1=0. $$

Следовательно, $$\sqrt3-\sqrt2$$ — корень приведённого уравнения с целыми коэффициентами. Если бы это число было рациональным, то оно должно было бы быть целым. Но

$$ 1<\sqrt2<2,\qquad 1<\sqrt3<2, $$

откуда

$$ -1<\sqrt3-\sqrt2<1. $$

Значит, $$\sqrt3-\sqrt2$$ не может быть целым числом, а следовательно, не является рациональным.