Упр.3.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.9. а) 16х3 — 28х2 + 4х + 3 = 0; б) бх3 — 13х2 + 9х — 2 = 0; в) 100х3 — 120х2 + 47х + 66 = 0; г) 4×3 + 2×2 — 8х + 3 = 0.

Подробный ответ

$$16x^3-28x^2+4x+3=0$$
Проверим корень $$x=\frac12$$:
$$16\cdot\left(\frac12\right)^3-28\cdot\left(\frac12\right)^2+4\cdot\frac12+3=2-7+2+3=0.$$
Значит, $$x-\frac12$$ — множитель многочлена:
$$16x^3-28x^2+4x+3=\left(x-\frac12\right)(16x^2-20x-6).$$
Решим квадратное уравнение:
$$16x^2-20x-6=0,$$
$$D=(-20)^2-4\cdot16\cdot(-6)=400+384=784,$$
$$x_{1,2}=\frac{20\pm\sqrt{784}}{2\cdot16}=\frac{20\pm28}{32}.$$
Отсюда
$$x_1=\frac{48}{32}=\frac32,\qquad x_2=\frac{-8}{32}=-\frac14.$$
$$6x^3-13x^2+9x-2=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$6-13+9-2=0.$$
Тогда
$$6x^3-13x^2+9x-2=(x-1)(6x^2-7x+2).$$
Решим квадратное уравнение:
$$6x^2-7x+2=0,$$
$$D=(-7)^2-4\cdot6\cdot2=49-48=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm1}{12}.$$
Получаем
$$x_1=\frac23,\qquad x_2=\frac12.$$
$$100x^3-120x^2+47x+66=0$$
Проверим корень $$x=-\frac12$$:
$$100\cdot\left(-\frac12\right)^3-120\cdot\left(-\frac12\right)^2+47\cdot\left(-\frac12\right)+66=-12.5-30-23.5+66=0.$$
Значит,
$$100x^3-120x^2+47x+66=\left(x+\frac12\right)(100x^2-170x+132).$$
Для квадратного уравнения
$$100x^2-170x+132=0$$
дискриминант
$$D=(-170)^2-4\cdot100\cdot132=28900-52800<0.$$
Действительных корней у него нет, поэтому остаётся только
$$x=-\frac12.$$
$$4x^3+2x^2-8x+3=0$$
Проверим корень $$x=-\frac12$$:
$$4\cdot\left(-\frac12\right)^3+2\cdot\left(-\frac12\right)^2-8\cdot\left(-\frac12\right)+3=-\frac12+\frac12+4+3\neq0.$$
Проверим корень $$x=\frac32$$:
$$4\cdot\left(\frac32\right)^3+2\cdot\left(\frac32\right)^2-8\cdot\frac32+3=0.$$
Тогда
$$4x^3+2x^2-8x+3=\left(x-\frac32\right)(4x^2+8x-2).$$
Решим квадратное уравнение:
$$4x^2+8x-2=0,$$
$$D=8^2-4\cdot4\cdot(-2)=64+32=96,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{96}}{8}=\frac{-8\pm4\sqrt6}{8}=\frac{-2\pm\sqrt6}{2}.$$