Упр.3.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.8. а) 10х3 — Зх2 — 2х + 1 = 0; б) 4х3 — 3х — 1 = 0; в) 4х3 + бх2 + 4х + 1 = 0; г) 38×3 + 7х2 — 8х — 1 = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$10x^3-3x^2-2x+1=0.$$
Проверим корень $$x=-\frac12$$:
$$10\left(-\frac12\right)^3-3\left(-\frac12\right)^2-2\left(-\frac12\right)+1=0.$$
Тогда
$$10x^3-3x^2-2x+1=(2x+1)(5x^2-4x+1).$$
Для квадратного множителя
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 1=16-20=-4<0,$$
значит, действительных корней он не имеет. Поэтому
$$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$
б) Решим уравнение
$$4x^3-3x-1=0.$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$4\cdot 1^3-3\cdot 1-1=0.$$
Тогда
$$4x^3-3x-1=(x-1)(4x^2+4x+1)=(x-1)(2x+1)^2.$$
Следовательно,
$$x-1=0 \quad \text{или} \quad 2x+1=0.$$
Отсюда
$$x=1,\quad x=-\frac12.$$
в) Рассмотрим уравнение
$$4x^3+6x^2+4x+1=0.$$
Проверим корень $$x=-\frac12$$:
$$4\left(-\frac12\right)^3+6\left(-\frac12\right)^2+4\left(-\frac12\right)+1=0.$$
Тогда
$$4x^3+6x^2+4x+1=(2x+1)(2x^2+2x+1).$$
Для квадратного множителя
$$D=2^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0,$$
поэтому действительных корней он не имеет. Значит,
$$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$
г) Решим уравнение
$$38x^3+7x^2-8x-1=0.$$
Проверим корень $$x=-\frac12$$:
$$38\left(-\frac12\right)^3+7\left(-\frac12\right)^2-8\left(-\frac12\right)-1=0.$$
Тогда
$$38x^3+7x^2-8x-1=(2x+1)(19x^2-6x-1).$$
Решим квадратное уравнение
$$19x^2-6x-1=0.$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 19\cdot(-1)=36+76=112,$$
$$x=\frac{6\pm \sqrt{112}}{38}=\frac{6\pm 4\sqrt7}{38}=\frac{3\pm 2\sqrt7}{19}.$$
Итак, корни уравнения:
$$x=-\frac12,\quad x=\frac{3-2\sqrt7}{19},\quad x=\frac{3+2\sqrt7}{19}.$$