Упр.3.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.7. а) х3 — 4х2 + х + 6 = 0; б) х4 + 5х3 + 4х2 — 24х — 24 = 0; в) х3 + 9х2 + 23х + 15 = 0; г) (х + 1)(х2 + 2) + (х + 2)(х2 + 1) = 2.

1. $$x^3-4x^2+x+6=0$$

   Проверим целый корень: $$p(-1)=-1-4-1+6=0.$$ Значит, $$x+1$$ — множитель.

   Разложим на множители:

   $$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3).$$

   Тогда

   $$x=-1,\;2,\;3.$$

2. $$x^4+5x^3+4x^2-24x-24=0$$

   Проверим корень: $$p(-1)=1-5+4+24-24=0.$$ Значит, $$x+1$$ — множитель.

   После деления получаем:

   $$x^4+5x^3+4x^2-24x-24=(x+1)(x^3+4x^2-24).$$

   Ещё раз проверим $$x=2$$:

   $$2^3+4\cdot 2^2-24=8+16-24=0.$$

   Тогда

   $$x^3+4x^2-24=(x-2)(x^2+6x+12).$$

   Имеем

   $$x^4+5x^3+4x^2-24x-24=(x+1)(x-2)(x^2+6x+12).$$

   Для квадратного трёхчлена

   $$D=6^2-4\cdot 12=36-48=-12<0,$$

   поэтому действительных корней у него нет.

   Следовательно, $$x=-1,\;2.$$

3. $$x^3+9x^2+23x+15=0$$

   Проверим корень: $$p(-1)=-1+9-23+15=0.$$ Значит, $$x+1$$ — множитель.

   Разложим:

   $$x^3+9x^2+23x+15=(x+1)(x^2+8x+15)=(x+1)(x+3)(x+5).$$

   Отсюда

   $$x=-1,\;-3,\;-5.$$

4. $$ (x+1)(x^2+2)+(x+2)(x^2+1)=2 $$

   Раскроем скобки:

   $$x^3+x^2+2x+2+x^3+2x^2+x+2=2,$$

   $$2x^3+3x^2+3x+2=0.$$

   Проверим корень: $$p(-1)=-2+3-3+2=0.$$ Значит, $$x+1$$ — множитель.

   Тогда

   $$2x^3+3x^2+3x+2=(x+1)(2x^2+x+2).$$

   Для квадратного трёхчлена

   $$D=1-16=-15<0,$$

   действительных корней нет.

   Следовательно, $$x=-1.$$

Ответ

а) $$-1,\;2,\;3$$; б) $$-1,\;2$$; в) $$-1,\;-3,\;-5$$; г) $$-1$$.