Упр.3.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.6. Найдите рациональные корни уравнения: а) 2х3 + 7х2 + 5х + 1 = 0; б) 2х4 + 7х3 — 3х2 — 5х — 1 = 0; в) 18х3 + 9х2 — 5х — 2 = 0; г) 16х4 + 16Х3 — 48Х2 + 28х -5 = 0.

Подробный ответ

а) Сделаем замену $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда
$$2+\frac{7}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0 \;\Rightarrow\; y^3+5y^2+7y+2=0.$$
Проверим рациональный корень: $$y=-2$$.
Тогда
$$y^3+5y^2+7y+2=(y+2)(y^2+3y+1).$$
Из квадратного уравнения $$y^2+3y+1=0$$ рациональных корней нет, так как
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=5,$$
а $$\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}.$$ Значит, рациональный корень только один:
$$y=-2,\qquad \frac{1}{x}=-2,\qquad x=-\frac{1}{2}.$$
б) Сделаем замену $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда
$$2+\frac{7}{x}-\frac{3}{x^2}-\frac{5}{x^3}-\frac{1}{x^4}=0 \;\Rightarrow\; y^4+5y^3+3y^2-7y-2=0.$$
Проверим рациональный корень: $$y=1$$.
Тогда
$$y^4+5y^3+3y^2-7y-2=(y-1)(y+2)(y^2+4y+1).$$
У квадратного уравнения $$y^2+4y+1=0$$ рациональных корней нет, так как
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=12,$$
а $$\sqrt{12}\notin \mathbb{Q}.$$ Поэтому рациональные корни:
$$y=1,\; y=-2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x=1,\qquad \frac{1}{x}=-2 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}.$$
в) Сделаем замену $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда
$$18+\frac{9}{x}-\frac{5}{x^2}-\frac{2}{x^3}=0 \;\Rightarrow\; y^3-5y^2+9y+18=0.$$
Проверим рациональный корень: $$y=-1$$.
Тогда
$$y^3-5y^2+9y+18=(y+1)(y^2-6y+18).$$
Для квадратного множителя
$$D=(-6)^2-4\cdot 18=36-72=-36<0,$$
поэтому рациональных корней больше нет. Получаем
$$y=-1,\qquad \frac{1}{x}=-1,\qquad x=-1.$$
г) Сделаем замену $$y=2x$$. Тогда
$$16x^4+16x^3-48x^2+28x-5=0 \;\Rightarrow\; y^4+2y^3-12y^2+14y-5=0.$$
Проверим рациональный корень: $$y=1$$.
Тогда
$$y^4+2y^3-12y^2+14y-5=(y-1)^3(y+5).$$
Следовательно, рациональные корни уравнения по переменной $$y$$:
$$y=1,\; y=-5.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2},\qquad 2x=-5 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}.$$