Упр.3.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.28. а) (x + 2)4 + x4 = 82; б) (5x — 3)4 + (5x — 1)4 = 82; в) (x + З)4 + (x — 1)4 = 32; г) (5x + З)4 + (5x — 1)4 = 32.

1. а) $$ (x+2)^4+x^4=82 $$

   Положим $$ y=x+1 $$, тогда $$ x=y-1 $$ и

   $$ (y+1)^4+(y-1)^4=82. $$

   Раскроем скобки:

   $$ (y+1)^4+(y-1)^4=2(y^4+6y^2+1), $$
   значит
   $$ 2(y^4+6y^2+1)=82. $$

   $$ y^4+6y^2-40=0. $$

   Обозначим $$ t=y^2 $$:

   $$ t^2+6t-40=0, $$
   $$ D=6^2+4\cdot 40=196. $$

   $$ t_{1,2}=\frac{-6\pm 14}{2}, $$
   откуда $$ t_1=-10 $$, $$ t_2=4 $$. Так как $$ t=y^2\ge 0 $$, то $$ y^2=4 $$, значит $$ y=\pm 2 $$.

   Тогда
   $$ x=y-1, $$
   поэтому
   $$ x_1=-2-1=-3,\qquad x_2=2-1=1. $$

2. б) $$ (5x-3)^4+(5x-1)^4=82 $$

   Положим $$ y=5x-2 $$, тогда $$ 5x-3=y-1 $$, $$ 5x-1=y+1 $$ и

   $$ (y-1)^4+(y+1)^4=82. $$

   По аналогии:

   $$ 2(y^4+6y^2+1)=82, $$
   $$ y^4+6y^2-40=0. $$

   Пусть $$ t=y^2 $$:

   $$ t^2+6t-40=0,\qquad D=196. $$

   $$ t_{1,2}=\frac{-6\pm 14}{2}, $$
   значит $$ t=4 $$, то есть $$ y=\pm 2 $$.

   Тогда
   $$ 5x-2=2 \Rightarrow x=\frac45=0{,}8, $$
   $$ 5x-2=-2 \Rightarrow x=0. $$

3. в) $$ (x+3)^4+(x-1)^4=32 $$

   Положим $$ y=x+1 $$, тогда $$ x+3=y+2 $$, $$ x-1=y-2 $$ и

   $$ (y+2)^4+(y-2)^4=32. $$

   Раскроем скобки:

   $$ (y+2)^4+(y-2)^4=2(y^4+24y^2+16), $$
   значит
   $$ 2(y^4+24y^2+16)=32. $$

   $$ y^4+24y^2=0, $$
   $$ y^2(y^2+24)=0. $$

   Отсюда $$ y=0 $$, значит

   $$ x=y-1=-1. $$

4. г) $$ (5x+3)^4+(5x-1)^4=32 $$

   Положим $$ y=5x+1 $$, тогда $$ 5x+3=y+2 $$, $$ 5x-1=y-2 $$ и

   $$ (y+2)^4+(y-2)^4=32. $$

   Как и в пункте в):

   $$ y^2(y^2+24)=0, $$
   откуда $$ y=0 $$.

   Тогда
   $$ 5x+1=0 \Rightarrow x=-\frac15=-0{,}2. $$

Ответ

а) $$-3; 1$$; б) $$0; 0{,}8$$; в) $$-1$$; г) $$-0{,}2$$.