Упр.3.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.2. а) (2х — 1)4 -x2=0 б) х4 — 4х3 + 4х2 = (7х + 1)2; в) (8х + З)2 — х4 = 8х2 + 16; г) х4 — х2 + 2х = 1.

Подробный ответ

$$ (2x-1)^4-x^2=0 $$
Представим разность квадратов:
$$ \big((2x-1)^2-x\big)\big((2x-1)^2+x\big)=0 $$
$$ (4x^2-4x+1-x)(4x^2-4x+1+x)=0 $$
$$ (4x^2-5x+1)(4x^2-3x+1)=0 $$
Решаем первое уравнение:
$$ 4x^2-5x+1=0 $$
$$ D=25-16=9 $$
$$ x=\frac{5\pm 3}{8} $$
$$ x_1=\frac14,\quad x_2=1 $$
Решаем второе уравнение:
$$ 4x^2-3x+1=0 $$
$$ D=9-16=-7<0 $$
Корней нет.
$$ x^4-4x^3+4x^2=(7x+1)^2 $$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$ x^2(x^2-4x+4)-(7x+1)^2=0 $$
$$ x^2(x-2)^2-(7x+1)^2=0 $$
$$ \big(x(x-2)-(7x+1)\big)\big(x(x-2)+(7x+1)\big)=0 $$
$$ (x^2-9x-1)(x^2+5x+1)=0 $$
Решаем первое уравнение:
$$ x^2-9x-1=0 $$
$$ D=81+4=85 $$
$$ x=\frac{9\pm \sqrt{85}}{2} $$
Решаем второе уравнение:
$$ x^2+5x+1=0 $$
$$ D=25-4=21 $$
$$ x=\frac{-5\pm \sqrt{21}}{2} $$
$$ (8x+3)^2-x^4=8x^2+16 $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ (8x+3)^2-(x^4+8x^2+16)=0 $$
$$ (8x+3)^2-(x^2+4)^2=0 $$
$$ \big((8x+3)-(x^2+4)\big)\big((8x+3)+(x^2+4)\big)=0 $$
$$ (x^2-8x+1)(x^2+8x+7)=0 $$
Решаем первое уравнение:
$$ x^2-8x+1=0 $$
$$ D=64-4=60 $$
$$ x=\frac{8\pm \sqrt{60}}{2}=4\pm \sqrt{15} $$
Решаем второе уравнение:
$$ x^2+8x+7=0 $$
$$ D=64-28=36 $$
$$ x=\frac{-8\pm 6}{2} $$
$$ x_1=-1,\quad x_2=-7 $$
$$ x^4-x^2+2x=1 $$
Перенесём 1 в левую часть:
$$ x^4-x^2+2x-1=0 $$
$$ x^4-(x^2-2x+1)=0 $$
$$ x^4-(x-1)^2=0 $$
$$ \big(x^2-(x-1)\big)\big(x^2+(x-1)\big)=0 $$
$$ (x^2-x+1)(x^2+x-1)=0 $$
Решаем первое уравнение:
$$ x^2-x+1=0 $$
$$ D=1-4=-3<0 $$
Корней нет.
Решаем второе уравнение:
$$ x^2+x-1=0 $$
$$ D=1+4=5 $$
$$ x=\frac{-1\pm \sqrt5}{2} $$