Упр.3.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.27. а) 2у4 — у2(у — 2) — 3(у — 2)2 = 0; б) (x2 + 6x — 9)2 + x(x2 + 4x — 9) = 0; в) (t2 + 2t)2 — (t + 2)(2t2 — t) = 6(2t — 1)2; г) (z2 — z)(z2 — 5z + 6) = 15z2 — 45z + 90.

1. $$2y^4-y^2(y-2)-3(y-2)^2=0$$

   Положим $$u=y^2$$, $$v=y-2$$. Тогда

   $$2u^2-uv-3v^2=0$$

   $$2u^2+2uv-3uv-3v^2=0$$

   $$2u(u+v)-3v(u+v)=0$$

   $$ (2u-3v)(u+v)=0 $$

   Отсюда:

   $$2u=3v \quad \text{или} \quad u=-v$$

   1) $$2y^2=3(y-2)$$

   $$2y^2-3y+6=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot 6=9-48=-39<0$$

   Действительных корней нет.

   2) $$y^2=-(y-2)$$

   $$y^2+y-2=0$$

   $$D=1^2+4\cdot 2=9$$

   $$y=\frac{-1\pm 3}{2}$$

   $$y_1=-2,\quad y_2=1$$

2. $$\left(x^2+6x-9\right)^2+x\left(x^2+4x-9\right)=0$$

   Положим $$u=x^2+5x-9$$. Тогда

   $$\left(u+x\right)^2+x(u-x)=0$$

   $$u^2+2ux+x^2+xu-x^2=0$$

   $$u^2+3ux=0$$

   $$u(u+3x)=0$$

   Отсюда:

   $$u=0 \quad \text{или} \quad u=-3x$$

   1) $$x^2+5x-9=0$$

   $$D=5^2+4\cdot 9=61$$

   $$x=\frac{-5\pm \sqrt{61}}{2}$$

   2) $$x^2+5x-9=-3x$$

   $$x^2+8x-9=0$$

   $$D=8^2+4\cdot 9=100$$

   $$x=\frac{-8\pm 10}{2}$$

   $$x_1=-9,\quad x_2=1$$

3. $$\left(t^2+2t\right)^2-\left(t+2\right)\left(2t^2-t\right)=6(2t-1)^2$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\left(t^2+2t\right)^2-\left(t^2+2t\right)(2t-1)-6(2t-1)^2=0$$

   Положим $$u=t^2+2t$$, $$v=2t-1$$. Тогда

   $$u^2-uv-6v^2=0$$

   $$u^2+2uv-3uv-6v^2=0$$

   $$u(u+2v)-3v(u+2v)=0$$

   $$ (u-3v)(u+2v)=0 $$

   Отсюда:

   $$u=3v \quad \text{или} \quad u=-2v$$

   1) $$t^2+2t=3(2t-1)$$

   $$t^2-4t+3=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 3=4$$

   $$t=\frac{4\pm 2}{2}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=3$$

   2) $$t^2+2t=-2(2t-1)$$

   $$t^2+6t-2=0$$

   $$D=6^2+4\cdot 2=44$$

   $$t=\frac{-6\pm \sqrt{44}}{2}=-3\pm \sqrt{11}$$

4. $$\left(z^2-z\right)\left(z^2-5z+6\right)=15z^2-45z+90$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\left(z^2-6z+6\right)^2-z\left(z^2-4z+6\right)=0$$

   Положим $$u=z^2-5z+6$$. Тогда

   $$\left(u-z\right)^2-z(u+z)=0$$

   $$u^2-2uz+z^2-zu-z^2=0$$

   $$u^2-3uz=0$$

   $$u(u-3z)=0$$

   Отсюда:

   $$u=0 \quad \text{или} \quad u=3z$$

   1) $$z^2-5z+6=0$$

   $$\left(z-2\right)\left(z-3\right)=0$$

   $$z=2,\quad z=3$$

   2) $$z^2-5z+6=3z$$

   $$z^2-8z+6=0$$

   $$D=8^2-4\cdot 6=40$$

   $$z=\frac{8\pm \sqrt{40}}{2}=4\pm \sqrt{10}$$

Ответ

а) $$-2,\ 1$$; б) $$-9,\ 1,\ \frac{-5\pm \sqrt{61}}{2}$$; в) $$1,\ 3,\ -3\pm \sqrt{11}$$; г) $$2,\ 3,\ 4\pm \sqrt{10}$$.