Упр.3.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.26. а) (2x + 3)2 — 3(2x + 3)(7x — 5) + 2(7x — 5)2 = 0; б) (3x — 2)2 — 3(3x — 2)(7 — 5x) + 2(5x — 7)2 = 0; в) (x2 — x + З)2 — 3(x2 — x + 3)(10x — 1) + 2(10x — 1)2 = 0; г) (2×2 — x — 6)2 — 3(2×2 — x — 6)(x2 + 10x — 6) + 2(x2 + 10x — 6)2 = 0.
а) Пусть $$u=2x+3$$, $$v=7x-5$$. Тогда
$$u^2-3uv+2v^2=0$$
$$u^2-uv-2uv+2v^2=0$$
$$u(u-v)-2v(u-v)=0$$
$$ (u-2v)(u-v)=0 $$
Отсюда:
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v$$
1) $$2x+3=2(7x-5)$$, тогда
$$2x+3=14x-10$$
$$12x=13$$
$$x=\frac{13}{12}$$
2) $$2x+3=7x-5$$, тогда
$$5x=8$$
$$x=\frac{8}{5}$$
б) Пусть $$u=3x-2$$, $$v=7-5x$$. Тогда
$$u^2-3uv+2v^2=0$$
$$ (u-2v)(u-v)=0 $$
Отсюда:
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v$$
1) $$3x-2=2(7-5x)$$, тогда
$$3x-2=14-10x$$
$$13x=16$$
$$x=\frac{16}{13}$$
2) $$3x-2=7-5x$$, тогда
$$8x=9$$
$$x=\frac{9}{8}$$
в) Пусть $$u=x^2-x+3$$, $$v=10x-1$$. Тогда
$$u^2-3uv+2v^2=0$$
$$ (u-2v)(u-v)=0 $$
Отсюда:
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v$$
1) $$x^2-x+3=2(10x-1)$$, тогда
$$x^2-21x+5=0$$
$$D=21^2-4\cdot 5=441-20=421$$
$$x=\frac{21\pm\sqrt{421}}{2}$$
2) $$x^2-x+3=10x-1$$, тогда
$$x^2-11x+4=0$$
$$D=11^2-4\cdot 4=121-16=105$$
$$x=\frac{11\pm\sqrt{105}}{2}$$
г) Пусть $$u=2x^2-x-6$$, $$v=x^2+10x-6$$. Тогда
$$u^2-3uv+2v^2=0$$
$$ (u-2v)(u-v)=0 $$
Отсюда:
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v$$
1) $$2x^2-x-6=2(x^2+10x-6)$$, тогда
$$2x^2-x-6=2x^2+20x-12$$
$$21x=6$$
$$x=\frac{2}{7}$$
2) $$2x^2-x-6=x^2+10x-6$$, тогда
$$x^2-11x=0$$
$$x(x-11)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=11$$
Ответ
а) $$\frac{13}{12},\ \frac{8}{5}$$; б) $$\frac{16}{13},\ \frac{9}{8}$$; в) $$\frac{21\pm\sqrt{421}}{2},\ \frac{11\pm\sqrt{105}}{2}$$; г) $$0,\ 11,\ \frac{2}{7}$$.
