Упр.3.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.25. а) (x2 — 7x + 13)2 — (x — 3)(x — 4) = 1; б) (x2 — 2x — 1)2 + 3(x — 1)2 = 16; в) (x — 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 63; г) (x2 — 2x — 8)(x2 — 8x + 7) = 63.

Подробный ответ

а) Пусть $$t=x^2-7x+13$$. Тогда
$$ (x^2-7x+13)^2-(x-3)(x-4)=1 $$
$$ t^2-(x^2-7x+12)=1 $$
Так как $$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$, получаем
$$ t^2-(t-1)=1 $$
$$ t^2-t=0 $$
$$ t(t-1)=0 $$
Отсюда:
$$ t=0 \quad \text{или} \quad t=1 $$
1) $$x^2-7x+13=0$$, тогда
$$ D=49-52=-3<0 $$
Решений нет.
2) $$x^2-7x+13=1$$, тогда
$$ x^2-7x+12=0 $$
$$ (x-3)(x-4)=0 $$
$$ x=3 \quad \text{или} \quad x=4 $$
б) Пусть $$t=x^2-2x$$. Тогда
$$ (x^2-2x-1)^2+3(x-1)^2=16 $$
$$ (t-1)^2+3(t+1)=16 $$
$$ t^2-2t+1+3t+3-16=0 $$
$$ t^2+t-12=0 $$
$$ (t+4)(t-3)=0 $$
$$ t=-4 \quad \text{или} \quad t=3 $$
1) $$x^2-2x=-4$$, то есть
$$ x^2-2x+4=0 $$
$$ D=4-16=-12<0 $$
Решений нет.
2) $$x^2-2x=3$$, то есть
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ (x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=3 \quad \text{или} \quad x=-1 $$
в) Пусть $$t=x^2+5x$$. Тогда
$$ (x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=63 $$
$$ (x^2+5x-14)(x^2+5x+4)=63 $$
$$ (t-14)(t+4)=63 $$
$$ t^2-10t-56=63 $$
$$ t^2-10t-119=0 $$
$$ D=100+476=576 $$
$$ t_{1,2}=\frac{10\pm 24}{2} $$
$$ t_1=17,\quad t_2=-7 $$
1) $$x^2+5x=17$$, тогда
$$ x^2+5x-17=0 $$
$$ D=25+68=93 $$
$$ x=\frac{-5\pm \sqrt{93}}{2} $$
2) $$x^2+5x=-7$$, тогда
$$ x^2+5x+7=0 $$
$$ D=25-28=-3<0 $$
Решений нет.
г) Пусть $$t=x^2-5x$$. Тогда
$$ (x^2-2x-8)(x^2-8x+7)=63 $$
$$ (x^2-5x+4)(x^2-5x-14)=63 $$
$$ (t+4)(t-14)=63 $$
$$ t^2-10t-56=63 $$
$$ t^2-10t-119=0 $$
$$ D=576 $$
$$ t_{1,2}=\frac{10\pm 24}{2} $$
$$ t_1=17,\quad t_2=-7 $$
1) $$x^2-5x=17$$, тогда
$$ x^2-5x-17=0 $$
$$ D=25+68=93 $$
$$ x=\frac{5\pm \sqrt{93}}{2} $$
2) $$x^2-5x=-7$$, тогда
$$ x^2-5x+7=0 $$
$$ D=25-28=-3<0 $$
Решений нет.