Упр.3.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.23. а) Пусть x2 + 5x + 4 = 17. Вычислите (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). б) Решите уравнение (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 360.

а) Из условия $$x^2+5x+4=17.$$

Заметим, что

$$ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6). $$

Так как $$x^2+5x+4=17,$$ то

$$ x^2+5x+6=(x^2+5x+4)+2=17+2=19. $$

Следовательно,

$$ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=17\cdot 19=323. $$

б) Пусть

$$ t=x^2+5x+4. $$

Тогда

$$ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=t(t+2). $$

По условию получаем уравнение

$$ t(t+2)=360, $$

то есть

$$ t^2+2t-360=0. $$

Решим его:

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-360)=4+1440=1444, $$

$$ t_{1,2}=\frac{-2\pm 38}{2}. $$

Отсюда

$$ t_1=18,\qquad t_2=-20. $$

1) Если $$x^2+5x+4=18,$$ то

$$ x^2+5x-14=0, $$

$$ D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81, $$

$$ x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{2}. $$

Получаем

$$ x_1=2,\qquad x_2=-7. $$

2) Если $$x^2+5x+4=-20,$$ то

$$ x^2+5x+24=0, $$

$$ D=5^2-4\cdot 1\cdot 24=25-96=-71<0. $$

Действительных корней нет.

Ответ

а) $$323$$; б) $$x=-7,\ 2$$.