Упр.3.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.22. а) х4 — х3 — 4×2 — х + 1 = 0; б) 9×4 — 9×3 + 102 — 3x + 1 = 0; в) 2×4 — 7×3 + 10×2 — 7x + 2 = 0; г) 25×4 — 50×3 + 14×2 + 10x + 1 = 0.
$$x^4-x^3-4x^2-x+1=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$x^2-x-4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
Сгруппируем:
$$\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-6=0$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)-6=0$$
Пусть $$t=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$t^2-t-6=0$$
$$t_1=-2,\quad t_2=3$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-2$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$\left(x+1\right)^2=0$$
$$x=-1$$
2) $$x+\frac{1}{x}=3$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt5}{2}$$
$$9x^4-9x^3+10x^2-3x+1=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$9x^2-9x+10-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
Сгруппируем:
$$\left(9x^2+2\cdot 3x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(3x+\frac{1}{x}\right)+4=0$$
$$\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(3x+\frac{1}{x}\right)+4=0$$
Пусть $$t=3x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$t^2-3t+4=0$$
$$D=9-16=-7<0$$
Действительных корней нет.
$$2x^4-7x^3+10x^2-7x+2=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$2x^2-7x+10-\frac{7}{x}+\frac{2}{x^2}=0$$
Сгруппируем:
$$2\left(x^2+2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$$
$$2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$$
Пусть $$t=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$2t^2-7t+6=0$$
$$D=49-48=1$$
$$t_1=\frac{3}{2},\quad t_2=2$$
1) $$x+\frac{1}{x}=\frac{3}{2}$$
$$2x^2-3x+2=0$$
$$D=9-16=-7<0$$
2) $$x+\frac{1}{x}=2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
$$25x^4-50x^3+14x^2+10x+1=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$25x^2-50x+14+\frac{10}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
Сгруппируем:
$$\left(25x^2-10x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-10\left(5x-\frac{1}{x}\right)+24=0$$
$$\left(5x-\frac{1}{x}\right)^2-10\left(5x-\frac{1}{x}\right)+24=0$$
Пусть $$t=5x-\frac{1}{x}$$, тогда
$$t^2-10t+24=0$$
$$D=100-96=4$$
$$t_1=4,\quad t_2=6$$
1) $$5x-\frac{1}{x}=4$$
$$5x^2-4x-1=0$$
$$D=16+20=36$$
$$x=\frac{4\pm 6}{10}$$
$$x_1=-\frac{1}{5},\quad x_2=1$$
2) $$5x-\frac{1}{x}=6$$
$$5x^2-6x-1=0$$
$$D=36+20=56$$
$$x=\frac{6\pm \sqrt{56}}{10}=\frac{3\pm \sqrt{14}}{5}$$
Ответ
а) $$-1,\ \frac{3\pm \sqrt5}{2}$$; б) корней нет; в) $$1$$; г) $$-\frac15,\ 1,\ \frac{3\pm \sqrt{14}}{5}$$.
