Упр.3.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.21 а) (3x-2/x)2+3x-2/x-2=0; б) 9×2+4/x2+3x-2/x-14=0; в) 9×4+3×3-14×2-2x+4=0; г) 9×4-3×3-14×2+2x+4=0.

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=3x-\frac{2}{x}$$. Тогда получаем:
$$t^2+t-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad t_2=\frac{-1+3}{2}=1$$
1) Если $$3x-\frac{2}{x}=-2$$, то
$$3x^2+2x-2=0$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-2)=28$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt7}{3}$$
2) Если $$3x-\frac{2}{x}=1$$, то
$$3x^2-x-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_1=\frac{1-5}{6}=-\frac23,\quad x_2=\frac{1+5}{6}=1$$
б) Обозначим $$t=3x-\frac{2}{x}$$. Тогда
$$9x^2+\frac{4}{x^2}+3x-\frac{2}{x}-14=0$$
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^2+\left(3x-\frac{2}{x}\right)-2=0$$
То есть снова получаем:
$$t^2+t-2=0$$
$$t_1=-2,\quad t_2=1$$
Далее решения такие же, как в пункте а):
$$x=\frac{-1\pm\sqrt7}{3},\ -\frac23,\ 1$$
в) Обозначим $$t=3x-\frac{2}{x}$$. Тогда
$$9x^4+3x^3-14x^2-2x+4=0$$
после деления на $$x^2$$ получаем:
$$9x^2+3x-14-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=0$$
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^2+\left(3x-\frac{2}{x}\right)-2=0$$
Значит, снова:
$$t^2+t-2=0,\quad t_1=-2,\quad t_2=1$$
Отсюда получаем те же корни:
$$x=\frac{-1\pm\sqrt7}{3},\ -\frac23,\ 1$$
г) Обозначим $$t=3x-\frac{2}{x}$$. Тогда
$$9x^4-3x^3-14x^2+2x+4=0$$
после деления на $$x^2$$ имеем:
$$9x^2-3x-14+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=0$$
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^2-\left(3x-\frac{2}{x}\right)-2=0$$
То есть
$$t^2-t-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad t_2=\frac{1+3}{2}=2$$
1) Если $$3x-\frac{2}{x}=-1$$, то
$$3x^2+x-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x=\frac{-1\pm5}{6}$$
$$x=-1,\quad x=\frac23$$
2) Если $$3x-\frac{2}{x}=2$$, то
$$3x^2-2x-2=0$$
$$D=4+24=28$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{1\pm\sqrt7}{3}$$