Упр.3.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.20 а) (2x+1/x)+2x+1/x-12=0; б) (2x-1/x)2+2x+1/x-4=0.

а) Обозначим $$t=2x+\frac{1}{x}.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^2+t-12=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+48=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

откуда $$t_1=-4,\quad t_2=3.$$

1) Если $$2x+\frac{1}{x}=-4,$$ то

$$2x^2+1=-4x,$$

$$2x^2+4x+1=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 2\cdot 1=8,$$

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{2}.$$

2) Если $$2x+\frac{1}{x}=3,$$ то

$$2x^2+1=3x,$$

$$2x^2-3x+1=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$

$$x_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2},\quad x_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

б) Обозначим $$t=2x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$\left(2x-\frac{1}{x}\right)^2+2x+\frac{1}{x}-4=0$$

$$t^2+t-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+16=17,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}.$$

Теперь решаем два уравнения:

$$2x-\frac{1}{x}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\qquad 2x-\frac{1}{x}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}.$$

После умножения на $$x$$ получаем два квадратных уравнения:

$$4x^2+\left(1-\sqrt{17}\right)x-2=0,$$

$$4x^2+\left(1+\sqrt{17}\right)x-2=0.$$

Их корни:

$$x=\frac{\sqrt{17}-1\pm \sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8},$$

$$x=\frac{-1-\sqrt{17}\pm \sqrt{34+2\sqrt{17}}}{8}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{2},\ 1,\ \frac{-2\pm \sqrt{2}}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt{17}-1\pm \sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8},\ \frac{-1-\sqrt{17}\pm \sqrt{34+2\sqrt{17}}}{8}.$$