Упр.3.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.19 Решите уравнение: а) 2(x+1/x)2+x+1/x-10=0; б) 2(x-1/x)2+x+1/x-2=0; в) 2×2+2/x2+x+1/x-6=0; г)2×4+x3-6×2+x+2=0.
а) Обозначим $$t=x+\frac{1}{x}$$. Тогда
$$2t^2+t-10=0.$$
$$D=1+80=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4}, \quad t_1=2,\quad t_2=-\frac{5}{2}.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то
$$x^2-2x+1=0,$$
$$x=1.$$
2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2},$$ то
$$2x^2+5x+2=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4}, \quad x_1=-2,\quad x_2=-\frac{1}{2}.$$
Итак, $$x=-2,\,-\frac{1}{2},\,1.$$
б) Пусть $$t=x-\frac{1}{x}$$. Тогда
$$2t^2+t-10=0.$$
Отсюда снова получаем
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac{5}{2}.$$
1) Если $$x-\frac{1}{x}=2,$$ то
$$x^2-2x-1=0,$$
$$x=1\pm \sqrt{2}.$$
2) Если $$x-\frac{1}{x}=-\frac{5}{2},$$ то
$$2x^2+5x-2=0,$$
$$D=25+16=41,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{41}}{4}.$$
Итак, $$x=1\pm \sqrt{2},\ \frac{-5\pm \sqrt{41}}{4}.$$
в) Обозначим $$t=x+\frac{1}{x}$$. Тогда
$$2x^2+\frac{2}{x^2}+x+\frac{1}{x}-6=0.$$
Так как
$$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2,$$
получаем
$$2(t^2-2)+t-6=0,$$
$$2t^2+t-10=0.$$
Следовательно,
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac{5}{2}.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то
$$x=1.$$
2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2},$$ то
$$2x^2+5x+2=0,$$
$$x=-2,\,-\frac{1}{2}.$$
Итак, $$x=-2,\,-\frac{1}{2},\,1.$$
г) Перепишем уравнение:
$$2x^4+x^3-6x^2+x+2=0.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$2x^4-6x^2+2+x^3+x=0,$$
$$2(x^4-3x^2+1)+x(x^2+1)=0.$$
Заметим, что
$$x^4-3x^2+1=(x^2+1)^2-5x^2.$$
Тогда удобнее разложить многочлен на множители:
$$2x^4+x^3-6x^2+x+2=(x-1)(2x^3+3x^2-3x-2).$$
Проверим кубический множитель:
$$2x^3+3x^2-3x-2=(x+1)(2x^2+x-2).$$
Тогда
$$2x^4+x^3-6x^2+x+2=(x-1)(x+1)(2x^2+x-2).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$2x^2+x-2=0,$$
$$D=1+16=17,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}.$$
Итак, $$x=-1,\ 1,\ \frac{-1-\sqrt{17}}{4},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{4}.$$
Ответ
а) $$-2,\,-\frac{1}{2},\,1$$; б) $$1\pm \sqrt{2},\ \frac{-5\pm \sqrt{41}}{4}$$; в) $$-2,\,-\frac{1}{2},\,1$$; г) $$-1,\ 1,\ \frac{-1-\sqrt{17}}{4},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{4}$$.
