Упр.3.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.18 Найдите значение выражения x3+1/x3, если: а) x+1/x=-3; б) x+1/x=t;

Используем формулу куба суммы:

$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x\cdot \frac{1}{x}\right) $$

Так как $$x\cdot \frac{1}{x}=1$$, получаем:

$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right) $$

Отсюда

$$ x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right) $$

1. Если $$x+\frac{1}{x}=-3$$, то

   $$ x^3+\frac{1}{x^3}=(-3)^3-3\cdot(-3)=-27+9=-18 $$

2. Если $$x+\frac{1}{x}=t$$, то

   $$ x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t $$

Ответ

а) $$-18$$; б) $$t^3-3t$$.