Упр.3.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 3.1. а) x3 — Зх2 — 4х = 0; б) x4 + 11х3 — х2 = 0; в) Зх3 — 8х2 + 14х = 0; г) (2х — З)3 — (2х — З)2 = 12х — 18.

Подробный ответ

$$x^3-3x^2-4x=0$$
Вынесем $$x$$ за скобки:
$$x(x^2-3x-4)=0$$
Тогда либо $$x=0$$, либо
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25$$
$$x=\frac{3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4$$
$$x^4+11x^3-x^2=0$$
Вынесем $$x^2$$ за скобки:
$$x^2(x^2+11x-1)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или
$$x^2+11x-1=0$$
$$D=11^2-4\cdot 1\cdot(-1)=121+4=125$$
$$x=\frac{-11\pm \sqrt{125}}{2}=\frac{-11\pm 5\sqrt5}{2}$$
$$3x^3-8x^2+14x=0$$
Вынесем $$x$$ за скобки:
$$x(3x^2-8x+14)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или
$$3x^2-8x+14=0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot 14=64-168=-104<0$$
Действительных корней у квадратного уравнения нет.
$$ (2x-3)^3-(2x-3)^2=12x-18 $$
Заметим, что $$12x-18=6(2x-3)$$. Тогда
$$ (2x-3)^3-(2x-3)^2=6(2x-3) $$
Вынесем $$2x-3$$ за скобки:
$$ (2x-3)\bigl((2x-3)^2-(2x-3)-6\bigr)=0 $$
Отсюда либо $$2x-3=0$$, либо
$$ (2x-3)^2-(2x-3)-6=0 $$
Положим $$t=2x-3$$. Тогда
$$t^2-t-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$t=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$t_1=-2,\quad t_2=3$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$2x-3=-2 \Rightarrow x=\frac12$$
$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32$$
$$2x-3=3 \Rightarrow x=3$$