Упр.29.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.9. а) |х2 — х| = 4х; в) |х2 — 6х + 10| = х; б) |2х — х2 + 3| = х + 7;г) |-х2 + 4х — 5| = -х.

1. $$|x^2-x|=4x$$
   Рассмотрим два случая:
   $$x^2-x=4x$$
   $$x^2-5x=0$$
   $$x(x-5)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=5$$
   Проверим условие для модуля: $$4x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0$$. Оба корня подходят.
2. $$|2x-x^2+3|=x+7$$
   Область определения:
   $$x+7\ge 0 \Rightarrow x\ge -7$$
   Первый случай:
   $$2x-x^2+3=x+7$$
   $$-x^2+x-4=0$$
   $$x^2-x+4=0$$
   $$D=1-16=-15<0$$ Корней нет. Второй случай: $$2x-x^2+3=-x-7$$ $$-x^2+3x+10=0$$ $$x^2-3x-10=0$$ $$x_1=-2,\; x_2=5$$ Оба корня удовлетворяют условию $$x\ge -7$$.
3. $$|x^2-6x+10|=x$$
   Область определения:
   $$x\ge 0$$
   Первый случай:
   $$x^2-6x+10=x$$
   $$x^2-7x+10=0$$
   $$D=49-40=9$$
   $$x_1=2,\; x_2=5$$

   Второй случай:
   $$x^2-6x+10=-x$$
   $$x^2-5x+10=0$$
   $$D=25-40=-15<0$$ Корней нет. Оба найденных корня подходят.

4. $$|-x^2+4x-5|=-x$$
   Область определения:
   $$-x\ge 0 \Rightarrow x\le 0$$
   Первый случай:
   $$-x^2+4x-5=-x$$
   $$x^2-5x+5=0$$
   $$D=25-20=5$$
   $$x=\frac{5\pm \sqrt5}{2}$$
   Но оба корня положительны, поэтому условию $$x\le 0$$ не удовлетворяют.

   Второй случай:
   $$-x^2+4x-5=x$$
   $$x^2-3x+5=0$$
   $$D=9-20=-11<0$$ Корней нет.

Ответ

а) $$0; 5$$
б) $$-2; 5$$
в) $$2; 5$$
г) корней нет