Упр.29.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.60. Найдите наименьшее значение функции у = f(x): а) f(x) = |х — 1| + |х — 2| + … + |х — 10|; б) f(x) = |х — 1| + |х — 2| + … + |х — 9|.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)=|x-1|+|x-2|+\dots+|x-10|.$$

Это сумма расстояний от точки $x$ до чисел $1,2,\dots,10$. Такая функция убывает слева от середины и возрастает справа от середины, поэтому наименьшее значение достигается при любом $x \in [5;6]$.

Возьмём, например, $x=5$:

$$f(5)=|5-1|+|5-2|+|5-3|+|5-4|+|5-5|+|5-6|+|5-7|+|5-8|+|5-9|+|5-10|,$$

$$f(5)=4+3+2+1+0+1+2+3+4+5=25.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $25$.

б) Рассмотрим функцию

$$f(x)=|x-1|+|x-2|+\dots+|x-9|.$$

Здесь середина набора чисел — $5$, поэтому минимум достигается при $x=5$.

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(5)=|5-1|+|5-2|+|5-3|+|5-4|+|5-5|+|5-6|+|5-7|+|5-8|+|5-9|,$$

$$f(5)=4+3+2+1+0+1+2+3+4=20.$$