Упр.29.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.6. а) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых существует только один корень уравнения |х — 1| = р, удовлетворяющий неравенству х2 больше или равно 4. б) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых существует корень уравнения | x — 1| = р, удовлетворяющий неравенству х2 больше или равно 4. в) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых ни один корень уравнения |х — 1| = р не удовлетворяет неравенству х2 больше или равно 4. г) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение |х — 1| = р имеет корни и все они удовлетворяют неравенству х2 больше или равно 4.

Решим уравнение:

$$|x-1|=p$$

Отсюда

$$x=1-p \quad \text{или} \quad x=1+p,$$

причём $$p\ge 0.$$

Рассмотрим неравенство:

$$x^2\ge 4$$

$$x^2-4\ge 0$$

$$ (x-2)(x+2)\ge 0 $$

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

1. а) Только один корень уравнения должен удовлетворять неравенству.

   Проверим корни:

   $$1-p\le -2 \iff p\ge 3,$$

   $$1+p\ge 2 \iff p\ge 1.$$

   Чтобы только один корень удовлетворял неравенству, возможны два случая:

   $$ \begin{cases} 1-p\le -2,\\ 1+p<2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 1+p\ge 2,\\ 1-p>-2 \end{cases} $$

   Получаем:

   $$p\ge 3 \ \text{и}\ p<1,$$

   или

   $$p\ge 1 \ \text{и}\ p<3.$$

   Первый случай невозможен, во втором:

   $$1\le p<3.$$

2. б) Должен существовать хотя бы один корень, удовлетворяющий неравенству.

   Это верно, если хотя бы один из корней попадает в область $$x\le -2$$ или $$x\ge 2.$$

   При $$p\ge 1$$ корень $$x=1+p$$ уже удовлетворяет неравенству, значит

   $$p\in [1;+\infty).$$

3. в) Ни один корень не должен удовлетворять неравенству.

   Тогда оба корня должны лежать в промежутке $$(-2;2).$$

   То есть

   $$ \begin{cases} 1-p>-2,\\ 1+p<2 \end{cases} $$

   Отсюда

   $$p<3,\quad p<1,$$

   значит

   $$p\in (-\infty;1).$$

4. г) Уравнение должно иметь корни, и все они должны удовлетворять неравенству.

   Тогда оба корня должны быть вне промежутка $$(-2;2):$$

   $$ \begin{cases} 1-p\le -2,\\ 1+p\ge 2 \end{cases} $$

   Отсюда

   $$p\ge 3,\quad p\ge 1,$$

   значит

   $$p\in [3;+\infty).$$

Ответ

а) $$p\in [1;3)$$; б) $$p\in [1;+\infty)$$; в) $$p\in (-\infty;1)$$; г) $$p\in [3;+\infty).$$