Упр.29.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.59. а) Найдите все значения параметра t, при которых неравенство |х + 2| + |х — 7| + |х + 4| больше или равно t выполняется: а) для любых значений х; б) хотя бы для одного значения х; в) для любых значений х меньше или равно -7; г) для любых значений х больше или равно -1.

Рассмотрим функцию

$$y=|x+2|+|x-7|+|x+4|.$$

Её график — ломаная. Найдём значения в точках смены знаков под модулем:

$$y(-4)=|-4+2|+|-4-7|+|-4+4|=2+11+0=13,$$

$$y(-2)=|-2+2|+|-2-7|+|-2+4|=0+9+2=11,$$

$$y(7)=|7+2|+|7-7|+|7+4|=9+0+11=20.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$11$$, а дальше используем это для каждого пункта.

1. Чтобы неравенство $$|x+2|+|x-7|+|x+4|\ge t$$ выполнялось для любых $$x$$, нужно, чтобы $$t$$ не превосходило наименьшего значения функции:

   $$t\le 11.$$

2. Чтобы неравенство выполнялось хотя бы для одного значения $$x$$, достаточно, чтобы существовало такое $$x$$, при котором левая часть не меньше $$t$$. Так как функция принимает значения сколь угодно большие, это верно при любом $$t$$:

   $$t\in \mathbb{R}.$$

3. Если $$x\le -7$$, то

   $$|x+2|=-(x+2),\quad |x-7|=-(x-7),\quad |x+4|=-(x+4).$$

   Тогда

   $$|x+2|+|x-7|+|x+4|=-3x+9.$$

   При $$x\le -7$$ эта величина минимальна при $$x=-7$$:

   $$-3(-7)+9=30.$$

   Следовательно, неравенство будет выполняться для любых $$x\le -7$$, если

   $$t\le 30.$$

4. Если $$x\ge -1$$, то

   $$|x+2|=x+2,\quad |x-7|=|x-7|,\quad |x+4|=x+4.$$

   Минимум на промежутке $$x\ge -1$$ достигается при $$x=-1$$:

   $$|-1+2|+|-1-7|+|-1+4|=1+8+3=12.$$

   Значит, неравенство будет выполняться для любых $$x\ge -1$$, если

   $$t\le 12.$$

Ответ

а) $$t\le 11$$; б) $$t\in\mathbb{R}$$; в) $$t\le 30$$; г) $$t\le 12$$.