Упр.29.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.57. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень: а) |х + 1| + 2|х — 1| = 1 — а; б) 2|х — 5| — |x + б| = 2а — 1.

а) Рассмотрим функцию

$$y=|x+1|+2|x-1|.$$

Её вершины находятся в точках разрыва модулей: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-1)=|0|+2|-2|=4,$$

$$y(1)=|2|+2|0|=2.$$

Минимальное значение функции равно $$2$$. Чтобы уравнение

$$|x+1|+2|x-1|=1-a$$

имело единственный корень, правая часть должна совпадать с наименьшим значением ломаной:

$$1-a=2.$$

Отсюда

$$a=-1.$$

б) Рассмотрим функцию

$$y=2|x-5|-|x+6|.$$

Точки излома: $$x=-6$$ и $$x=5$$.

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-6)=2|{-11}|-0=22,$$

$$y(5)=0-|11|=-11.$$

Наименьшее значение функции равно $$-11$$. Чтобы уравнение

$$2|x-5|-|x+6|=2a-1$$

имело единственный корень, нужно

$$2a-1=-11.$$

Тогда

$$2a=-10,$$

$$a=-5.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-5$$.