Упр.29.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 29.54 а)|3x+5| + |x2-7| > |x2+3x-2|; б)|x2-1/x|+|x2+5/(x2-3)| > |1/x + 5/(x2-3)|; в)|3x+5| + |x2-7| меньше или равно x2+3x-2|; г)|x2-1/x| + |x2+5/(x2-3)| меньше или равно |1/x + 5/(x2-3)|.

б) Рассмотрим неравенство

$$\left|x^2-\frac1x\right|+\left|x^2+\frac5{x^2-3}\right|>\left|\frac1x+\frac5{x^2-3}\right|.$$

Заметим, что

$$\left(x^2-\frac1x\right)+\left(x^2+\frac5{x^2-3}\right)=\frac1x+\frac5{x^2-3}$$

тогда неравенство имеет вид $$|a|+|b|>|b-a|.$$ Для него верно: $$|a|+|b|>|b-a| \iff ab<0.$$

Значит, нужно решить

$$\left(x^2-\frac1x\right)\left(x^2+\frac5{x^2-3}\right)<0.$$

Преобразуем:

$$\left(x^2-\frac1x\right)\left(x^2+\frac5{x^2-3}\right)=\frac{x^3-1}{x}\cdot\frac{x^4-3x^2+5}{x^2-3}.$$

Так как

$$x^4-3x^2+5>0$$

при всех $x$, а также $x\neq 0$, $x\neq \pm\sqrt3$, то знак произведения определяется выражением

$$\frac{x^3-1}{x(x^2-3)}<0.$$

Разложим:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$

Поскольку $$x^2+x+1>0,$$ получаем

$$\frac{x-1}{x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)}<0.$$

По знакам на промежутках получаем

$$x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(0;1)\cup(\sqrt3;+\infty).$$

г) Аналогично для неравенства

$$\left|x^2-\frac1x\right|+\left|x^2+\frac5{x^2-3}\right|\le \left|\frac1x+\frac5{x^2-3}\right|$$

получаем

$$\left(x^2-\frac1x\right)\left(x^2+\frac5{x^2-3}\right)\ge 0.$$

То есть

$$\frac{x^3-1}{x(x^2-3)}\ge 0.$$

По таблице знаков:

$$x\in(-\sqrt3;0)\cup[1;\sqrt3).$$

Ответ

б) $$x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(0;1)\cup(\sqrt3;+\infty);$$ г) $$x\in(-\sqrt3;0)\cup[1;\sqrt3).$$