Упр.29.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Докажем, что неравенство $$|f(x)|+|g(x)|>|f(x)+g(x)|$$ равносильно неравенству $$f(x)\cdot g(x)<0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ \left(|f(x)|+|g(x)|\right)^2>|f(x)+g(x)|^2 $$

$$ f^2(x)+2|f(x)|\,|g(x)|+g^2(x)>f^2(x)+2f(x)g(x)+g^2(x) $$

$$ 2|f(x)g(x)|>2f(x)g(x) $$

$$ |f(x)g(x)|>f(x)g(x) $$

Это возможно только тогда, когда $$f(x)g(x)<0.$$

Значит, неравенство $$|f(x)|+|g(x)|>|f(x)+g(x)|$$ равносильно неравенству $$f(x)\cdot g(x)<0.$$

б) Аналогично докажем, что неравенство $$|f(x)|+|g(x)|\le |f(x)+g(x)|$$ равносильно неравенству $$f(x)\cdot g(x)\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ \left(|f(x)|+|g(x)|\right)^2\le |f(x)+g(x)|^2 $$

$$ f^2(x)+2|f(x)|\,|g(x)|+g^2(x)\le f^2(x)+2f(x)g(x)+g^2(x) $$

$$ 2|f(x)g(x)|\le 2f(x)g(x) $$

$$ |f(x)g(x)|\le f(x)g(x) $$

Это возможно только при $$f(x)g(x)\ge 0.$$

Следовательно, неравенство $$|f(x)|+|g(x)|\le |f(x)+g(x)|$$ равносильно неравенству $$f(x)\cdot g(x)\ge 0.$$

Ответ

а) $$|f(x)|+|g(x)|>|f(x)+g(x)| \iff f(x)\cdot g(x)<0.$$

б) $$|f(x)|+|g(x)|\le |f(x)+g(x)| \iff f(x)\cdot g(x)\ge 0.$$