Упр.29.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.52 Решите неравенство: а)|x-корень 3x+7| + |2x-корень 3x+7| больше или равно |x|; б)|x2+2x| меньше или равно |x2+x — (корень 1-x)/x| + |x+(корень 1-x)/x|.

а) Рассмотрим левую часть:

$$|x-\sqrt{3x+7}|+|2x-\sqrt{3x+7}|.$$

При допустимых значениях $$x$$ имеем $$\sqrt{3x+7}\ge 0$$. Тогда

$$|x-\sqrt{3x+7}|=|\sqrt{3x+7}-x|,$$

и выражение имеет вид

$$|\sqrt{3x+7}-x|+|2x-\sqrt{3x+7}|.$$

Проверим, когда сумма модулей равна $$|x|$$. Для этого достаточно, чтобы

$$\bigl(\sqrt{3x+7}-x\bigr)+\bigl(2x-\sqrt{3x+7}\bigr)=x,$$

что выполняется тождественно. Значит, неравенство верно при всех допустимых значениях $$x$$.

Область допустимых значений задаётся условием

$$3x+7\ge 0,$$

откуда

$$x\ge -\frac{7}{3}.$$

б) Здесь

$$|x^2+2x|\le \left|x^2+x-\frac{\sqrt{1-x}}{x}\right|+\left|x+\frac{\sqrt{1-x}}{x}\right|.$$

Снова заметим, что сумма выражений под модулями равна

$$\left(x^2+x-\frac{\sqrt{1-x}}{x}\right)+\left(x+\frac{\sqrt{1-x}}{x}\right)=x^2+2x,$$

поэтому неравенство верно для всех допустимых значений $$x$$.

Найдём ОДЗ:

$$1-x\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

Следовательно,

$$x\le 1,\qquad x\ne 0,$$

то есть

$$x\in(-\infty;0)\cup(0;1].$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac{7}{3};+\infty\right);$$ б) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;1].$$