Упр.29.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Рассмотрим неравенство

$$|f(x)|+|g(x)|\ge |f(x)+g(x)|.$$

Возведём обе части в квадрат. Так как обе части неотрицательны, это равносильно:

$$\bigl(|f(x)|+|g(x)|\bigr)^2\ge \bigl|f(x)+g(x)\bigr|^2.$$

Получаем

$$f^2(x)+2|f(x)|\,|g(x)|+g^2(x)\ge f^2(x)+2f(x)g(x)+g^2(x),$$

то есть

$$2|f(x)g(x)|\ge 2f(x)g(x).$$

Это верно при любых действительных значениях $f(x)$ и $g(x)$, поскольку для любого числа $t$ выполняется $$|t|\ge t.$$

Следовательно, исходное неравенство верно для всех $x$, при которых определены функции $f(x)$ и $g(x)$.

Аналогично доказываются неравенства

$$\sqrt{f^2(x)}+\sqrt{g^2(x)}\ge \sqrt{(f(x)+g(x))^2},$$

$$f^2(x)+2\sqrt{f^2(x)\cdot g^2(x)}+g^2(x)\ge f^2(x)+2f(x)g(x)+g^2(x),$$

$$2\sqrt{(f(x)g(x))^2}\ge 2f(x)g(x),$$

так как $$\sqrt{a^2}=|a|$$ и потому $$|f(x)g(x)|\ge f(x)g(x).$$

Значит, множество решений каждого из данных неравенств совпадает с пересечением областей определения функций $f$ и $g$.

Ответ

Множество решений совпадает с пересечением множеств $$D(f)\cap D(g).$$