Упр.29.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.31. а) |2х — 1| больше или равно х; б) |4х — 12| + |5х — 15| > 9х — 9; в) |3х — 4| > х + 1; г) |12х + 4| + |9х + 3| больше или равно -7х.
а) $$|2x-1|\ge x$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$2x-1\ge 0$$, то $$x\ge \frac12$$ и
$$2x-1\ge x \;\Rightarrow\; x\ge 1.$$
2) Если $$2x-1<0$$, то $$x<\frac12$$ и
$$-(2x-1)\ge x \;\Rightarrow\; -2x+1\ge x \;\Rightarrow\; 3x\le 1 \;\Rightarrow\; x\le \frac13.$$
Объединяя, получаем
$$x\in(-\infty;\tfrac13]\cup[1;+\infty).$$
б) $$|4x-12|+|5x-15|>9x-9$$
Вынесем множители:
$$4|x-3|+5|x-3|>9x-9,$$
$$9|x-3|>9(x-1),$$
$$|x-3|>x-1.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, и
$$3-x>x-1 \;\Rightarrow\; 4>2x \;\Rightarrow\; x<2.$$
2) Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, и
$$x-3>x-1,$$
что невозможно.
Значит,
$$x\in(-\infty;2).$$
в) $$|3x-4|>x+1$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<\frac43$$, то $$|3x-4|=4-3x$$, и
$$4-3x>x+1 \;\Rightarrow\; 3>4x \;\Rightarrow\; x<\frac34.$$
2) Если $$x\ge \frac43$$, то $$|3x-4|=3x-4$$, и
$$3x-4>x+1 \;\Rightarrow\; 2x>5 \;\Rightarrow\; x>\frac52.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;\tfrac34)\cup(\tfrac52;+\infty).$$
г) $$|12x+4|+|9x+3|\ge -7x$$
Вынесем множители:
$$4|3x+1|+3|3x+1|\ge -7x,$$
$$7|3x+1|\ge -7x,$$
$$|3x+1|\ge -x.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<-\frac13$$, то $$|3x+1|=-(3x+1)$$, и
$$-3x-1\ge -x \;\Rightarrow\; -2x\ge 1 \;\Rightarrow\; x\le -\frac12.$$
2) Если $$x\ge -\frac13$$, то $$|3x+1|=3x+1$$, и
$$3x+1\ge -x \;\Rightarrow\; 4x\ge -1 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac14.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-\tfrac12]\cup[-\tfrac14;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;\tfrac13]\cup[1;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;2)$$; в) $$x\in(-\infty;\tfrac34)\cup(\tfrac52;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;-\tfrac12]\cup[-\tfrac14;+\infty)$$.
