Упр.29.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.50. а)|x2-2x-5| больше или равно -2x-5; б)|-2×2+5x+7| больше или равно 2×2-6x+7; в)|5-4x-x2| > 2-x-x2; Г) |x3-x2-4x| больше или равно -x3-5x-4.

1. а) $$|x^2-2x-5|\ge -2x-5$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-2x-5\ge -2x-5 \;\;\Rightarrow\;\; x^2\ge 0,$$
   что верно при любом $$x\in\mathbb{R}$$.

   $$x^2-2x-5\le 2x+5 \;\;\Rightarrow\;\; x^2-4x-10\le 0.$$
   Но это не ограничивает решение, так как первое неравенство уже выполняется для всех $$x$$.

   Следовательно, $$x\in\mathbb{R}$$.

2. б) $$|-2x^2+5x+7|\ge 2x^2-6x+7$$

   1) $$-2x^2+5x+7\ge 2x^2-6x+7$$

   $$-4x^2+11x\ge 0$$
   $$x(11-4x)\ge 0$$
   $$x\in\left[0;\frac{11}{4}\right].$$

   2) $$-2x^2+5x+7\le -(2x^2-6x+7)$$

   $$-2x^2+5x+7\le -2x^2+6x-7$$
   $$x\ge 14.$$

   Объединяем решения:

   $$x\in\left[0;\frac{11}{4}\right]\cup[14;+\infty).$$

3. в) $$|5-4x-x^2|>2-x-x^2$$

   1) $$5-4x-x^2>2-x-x^2$$

   $$3-3x>0$$
   $$x<1.$$

   2) $$5-4x-x^2<-(2-x-x^2)$$

   $$5-4x-x^2<-2+x+x^2$$ $$2x^2+5x-7>0$$
   $$(2x+7)(x-1)>0.$$

   Отсюда $$x<-\frac{7}{2}$$ или $$x>1$$.

   Пересечение с условием из первого случая даёт:

   $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

4. г) $$|x^3-x^2-4x|\ge -x^3-5x-4$$

   1) $$x^3-x^2-4x\ge -x^3-5x-4$$

   $$2x^3-x^2+x+4\ge 0$$
   $$x^3-\frac12x^2+\frac12x+2\ge 0.$$

   Удобно разложить:

   $$2x^3-x^2+x+4=(x+1)(2x^2-3x+4).$$

   Так как $$D=9-32=-23<0$$ и $$2x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$, то

   $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

   2) $$x^3-x^2-4x\le x^3+5x+4$$

   $$x^2+9x+4\ge 0.$$
   Корни:
   $$x_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{65}}{2}.$$

   Тогда
   $$x\le \frac{-9-\sqrt{65}}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-9+\sqrt{65}}{2}.$$

   Пересечение с $$x\ge -1$$ даёт:

   $$x\in\left[-1;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\mathbb{R}$$;
б) $$x\in\left[0;\frac{11}{4}\right]\cup[14;+\infty)$$;
в) $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$;
г) $$x\in\left[-1;+\infty\right).$$