Упр.29.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.5. Для каждого значения параметра р определите число корней уравнения: а)|x+1|=2-p; в) |2-x|=-1-5p; б)|2x-x2|=log5(p); г) |x2-1|=4(p-1)-p2.

Подробный ответ

а) $$|x+1|=2-p$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$2-p\ge 0 \Rightarrow p\le 2.$$
Если $$2-p>0,$$ то уравнение $$|x+1|=2-p$$ имеет два корня; если $$2-p=0,$$ то один корень; если $$2-p<0,$$ корней нет.
Значит:
$$p<2 \Rightarrow 2 \text{ корня}, \quad p=2 \Rightarrow 1 \text{ корень}, \quad p>2 \Rightarrow 0 \text{ корней}.$$
б) $$|2x-x^2|=\log_5 p$$
Левая часть неотрицательна, поэтому необходимо:
$$\log_5 p\ge 0 \Rightarrow p\ge 1.$$
График функции $$y=|2x-x^2|$$ принимает значения от $$0$$ до $$1$$ на участке между нулями и вершиной, поэтому:
$$0<\log_5 p<1 \Rightarrow 1<p<5,$$
$$\log_5 p=0 \Rightarrow p=1,$$
$$\log_5 p=1 \Rightarrow p=5,$$
$$\log_5 p>1 \Rightarrow p>5.$$
Следовательно:
$$p<1 \Rightarrow 0 \text{ корней},$$
$$p=1 \text{ или } p>5 \Rightarrow 2 \text{ корня},$$
$$p=5 \Rightarrow 3 \text{ корня},$$
$$1<p<5 \Rightarrow 4 \text{ корня}.$$
в) $$|2-x|=-1-5p$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$-1-5p\ge 0 \Rightarrow p\le -\frac15.$$
Если $$-1-5p>0,$$ то уравнение имеет два корня; если $$-1-5p=0,$$ то один корень; если $$-1-5p<0,$$ корней нет.
Значит:
$$p<-\frac15 \Rightarrow 2 \text{ корня}, \quad p=-\frac15 \Rightarrow 1 \text{ корень}, \quad p>-\frac15 \Rightarrow 0 \text{ корней}.$$
г) $$|x^2-1|=4(p-1)-p^2$$
Преобразуем правую часть:
$$4(p-1)-p^2=-(p^2-4p+4)=-(p-2)^2\le 0.$$
Левая часть неотрицательна, значит равенство возможно только при
$$-(p-2)^2=0 \Rightarrow p=2.$$
Тогда получаем:
$$|x^2-1|=0 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
При $$p\ne 2$$ корней нет.