Упр.29.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$\left|5x-\frac1x\right|>4x$$

Решим систему двух неравенств:

$$ \begin{cases} 5x-\frac1x>4x,\\ 5x-\frac1x<-4x. \end{cases} $$

1) $$5x-\frac1x>4x$$

$$ x-\frac1x>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2-1}{x}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-1)(x+1)}{x}>0. $$

Отсюда $$x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$

2) $$5x-\frac1x<-4x$$

$$ 9x-\frac1x<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9x^2-1}{x}<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(3x-1)(3x+1)}{x}<0. $$

Отсюда $$x\in(-\infty;-\tfrac13)\cup(0;\tfrac13).$$

Пересечение решений:

$$ x\in(-\infty;0)\cup(0;\tfrac13)\cup(1;+\infty). $$

б) $$\left|\frac{x-1}{x+2}\right|>\frac{17x-39}{20x-20}$$

ОДЗ: $$x\neq-2,\;x\neq1.$$

Рассмотрим два случая:

$$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x+2}>\dfrac{17x-39}{20x-20},\\[6pt] \dfrac{x-1}{x+2}<-\dfrac{17x-39}{20x-20}. \end{cases} $$

1) $$\dfrac{x-1}{x+2}>\dfrac{17x-39}{20x-20}$$

$$ \frac{20(x-1)^2-(17x-39)(x+2)}{20(x-1)(x+2)}>0 $$

$$ \frac{3x^2-35x+98}{(x-1)(x+2)}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-7)(3x-14)}{(x-1)(x+2)}>0. $$

Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-\tfrac{29}{37})\cup(1;\tfrac{14}{3})\cup(7;+\infty).$$

2) $$\dfrac{x-1}{x+2}<-\dfrac{17x-39}{20x-20}$$

$$ \frac{20(x-1)^2+(17x-39)(x+2)}{20(x-1)(x+2)}<0 $$

$$ \frac{37x^2-45x-58}{(x-1)(x+2)}<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)(37x+29)}{(x-1)(x+2)}<0. $$

Отсюда $$x\in(-2;-\tfrac{29}{37})\cup(1;2).$$

Объединяя результаты, получаем:

$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-\tfrac{29}{37})\cup(1;\tfrac{14}{3})\cup(7;+\infty). $$

в) $$\left|x-1\right|\ge \frac{32-14x}{x+2}$$

ОДЗ: $$x\neq-2.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x-1\ge \dfrac{32-14x}{x+2},\\[6pt] x-1\le \dfrac{14x-32}{x+2}. \end{cases} $$

1) $$x-1\ge \dfrac{32-14x}{x+2}$$

$$ \frac{(x-1)(x+2)-32+14x}{x+2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2+15x-34}{x+2}\ge 0. $$

$$ x^2+15x-34=(x-2)(x+17). $$

Отсюда $$x\in(-17;-2)\cup[2;+\infty).$$

2) $$x-1\le \dfrac{14x-32}{x+2}$$

$$ \frac{(x-1)(x+2)-14x+32}{x+2}\le 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2-13x+30}{x+2}\le 0. $$

$$ x^2-13x+30=(x-3)(x-10). $$

Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup[3;10].$$

Пересечение решений:

$$ x\in(-\infty;-2)\cup[3;10]. $$

г) $$\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\ge \frac{x-2}{x}$$

ОДЗ: $$x\neq-2,\;x\neq0.$$

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{x-2}{x+2}\ge \dfrac{x-2}{x},\\[6pt] \dfrac{x-2}{x+2}\le \dfrac{2-x}{x}. \end{cases} $$

1) $$\dfrac{x-2}{x+2}\ge \dfrac{x-2}{x}$$

$$ \frac{x(x-2)-(x-2)(x+2)}{x(x+2)}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2(2-x)}{x(x+2)}\ge 0. $$

Отсюда $$x\in(-2;0)\cup(0;2].$$

2) $$\dfrac{x-2}{x+2}\le \dfrac{2-x}{x}$$

$$ \frac{x(x-2)+(x-2)(x+2)}{x(x+2)}\le 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2(x^2-x-2)}{x(x+2)}\le 0. $$

$$ x^2-x-2=(x-2)(x+1). $$

Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;0)\cup(2;+\infty).$$

Пересечение решений:

$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1]\cup(0;2]. $$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\tfrac13)\cup(1;+\infty)$$;
б) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-\tfrac{29}{37})\cup(1;\tfrac{14}{3})\cup(7;+\infty)$$;
в) $$x\in(-\infty;-2)\cup[3;10]$$;
г) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1]\cup(0;2]$$.