Упр.29.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.48 а)|7x-11| > 3x+5; б)|5x+7| больше или равно 3×2+11x-2; в)|4-x| > -3x-2; г)|5-4x| больше или равно 5-7x-3×2.

Подробный ответ

а) $$|7x-11|>3x+5$$
Рассмотрим два случая:
$$7x-11>3x+5 \Rightarrow 4x>16 \Rightarrow x>4,$$
$$7x-11<-3x-5 \Rightarrow 10x<6 \Rightarrow x<0{,}6.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0{,}6)\cup(4;+\infty).$$
б) $$|5x+7|\ge 3x^2+11x-2$$
Получаем систему двух неравенств:
$$5x+7\ge 3x^2+11x-2,$$
$$5x+7\le -3x^2-11x+2.$$
1) $$5x+7\ge 3x^2+11x-2$$
$$3x^2+6x-9\le 0,$$
$$x^2+2x-3\le 0,$$
$$(x+3)(x-1)\le 0.$$
Отсюда $$x\in[-3;1].$$
2) $$5x+7\le -3x^2-11x+2$$
$$3x^2+16x+5\le 0,$$
$$(3x+1)(x+5)\le 0.$$
Отсюда $$x\in[-5;-\tfrac13].$$
Пересечение решений:
$$x\in[-5;1].$$
в) $$|4-x|>-3x-2$$
Так как $$|4-x|=|x-4|,$$ рассмотрим два случая:
$$4-x>-3x-2 \Rightarrow 2x>-6 \Rightarrow x>-3,$$
$$4-x<3x+2 \Rightarrow -4x<-2 \Rightarrow x>\tfrac12.$$
Объединяя, получаем:
$$x\in(-3;+\infty).$$
г) $$|5-4x|\ge 5-7x-3x^2$$
Рассмотрим два случая:
$$5-4x\ge 5-7x-3x^2 \Rightarrow 3x^2+3x\ge 0 \Rightarrow 3x(x+1)\ge 0,$$
$$5-4x\le 5-7x-3x^2 \Rightarrow 3x^2+11x-10\ge 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=11^2+4\cdot 3\cdot 10=241,$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm\sqrt{241}}{6}.$$
Тогда
$$3x^2+11x-10\ge 0 \Rightarrow x\le \frac{-11-\sqrt{241}}{6}\ \text{или}\ x\ge \frac{-11+\sqrt{241}}{6}.$$
Из неравенства $$3x(x+1)\ge 0$$ получаем:
$$x\in(-\infty;-1]\cup[0;+\infty).$$
Объединяя решения, имеем:
$$x\in(-\infty;-1]\cup[0;+\infty).$$